ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: квадрат $ABCD$, $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $BCM$ ($\angle B=90^{\circ }$) и $CDN$ ($\angle C=90^{\circ }$). В них $BC=CD$ как стороны квадрата и $BM=CN$ как половины равных сторон. Значит, треугольники равны по двум катетам, и соответственные углы равны:

$$\angle BCM=\angle CDN.$$

Угол $BCD$ прямой, и луч $CM$ делит его на части: $\angle BCM+\angle MCD=90^{\circ }$. Заменим $\angle BCM$ на равный ему $\angle CDN$:

$$\angle CDK+\angle KCD=90^{\circ }.$$

Тогда в треугольнике $CDK$ третий угол $\angle CKD=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, то есть $CM\perp DN$.

Угол $MKN$ вертикален углу $CKD$, поэтому $\angle MKN=90^{\circ }$. В четырёхугольнике $BNKM$

$$\angle MBN+\angle MKN=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }.$$

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^{\circ }$, около него можно описать окружность. Значит, точки $B$, $N$, $K$, $M$ лежат на одной окружности. В ней хорды $BM$ и $BN$ равны (половины сторон квадрата), а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны:

$$\angle BKM=\angle BKN.$$

Луч $KB$ делит прямой угол $MKN$ на эти два угла, поэтому

$$\angle BKM=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Угол $MKD$ смежный с прямым углом $CKD$, поэтому $\angle MKD=90^{\circ }$. В четырёхугольнике $AMKD$

$$\angle MAD+\angle MKD=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

значит, около него можно описать окружность. Вписанные углы $AKM$ и $ADM$ опираются на одну дугу $AM$, поэтому

$$\angle AKM=\angle ADM.$$

Обозначим $\angle ADM=\alpha$. Сторона квадрата $AD=2\sqrt{14}$, $AM=\sqrt{14}$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADM$

$$DM=\sqrt{A{M}^2+A{D}^2}=\sqrt{14+56}=\sqrt{70}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{14}.$$

Тогда

$$\sin \alpha =\frac{AM}{DM}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos \alpha =\frac{AD}{DM}=\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому луч $KM$ проходит внутри угла $AKB$, и

$$\angle AKB=\angle AKM+\angle MKB=\alpha +45^{\circ }.$$

По формуле синуса суммы

$$\sin \angle AKB=\sin \alpha \cos 45^{\circ }+\cos \alpha \sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

По теореме синусов для треугольника $AKB$ ($R$ — радиус его описанной окружности)

$$\frac{AB}{\sin \angle AKB}=2R\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin \angle AKB}=\frac{2\sqrt{14}\cdot \sqrt{10}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{140}}{3}=\frac{2\sqrt{35}}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{2\sqrt{35}}{3}$.