ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, луч $BO$ пересекает сторону $AC$ и за ней второй раз пересекает описанную окружность в точке $P$. Значит, $P$ лежит на дуге $AC$, не содержащей $B$, а точки $O$ и $P$ — по разные стороны от прямой $AC$.

а) Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, поэтому $BO$ и $CO$ — биссектрисы углов $B$ и $C$. Обозначим

$$\angle ABP=\angle PBC=\alpha ,\angle ACO=\angle OCB=\beta .$$

Углы $PBA$ и $PCA$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $PA$ (она не содержит ни $B$, ни $C$), поэтому

$$\angle PCA=\angle PBA=\alpha .$$

Точки $O$ и $P$ лежат по разные стороны от прямой $AC$, поэтому луч $CA$ проходит внутри угла $PCO$:

$$\angle PCO=\angle PCA+\angle ACO=\alpha +\beta .$$

Угол $POC$ — внешний угол треугольника $BOC$ при вершине $O$ (точка $P$ лежит на продолжении $BO$ за $O$). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:

$$\angle POC=\angle OBC+\angle OCB=\alpha +\beta .$$

Итак, $\angle PCO=\angle POC$, треугольник $POC$ равнобедренный с основанием $OC$, и $OP=CP$. Что и требовалось доказать.

б) Так как $BP$ — биссектриса угла $ABC$,

$$\angle PBC=\angle PBA=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Вписанные углы $PAC$ и $PBC$ опираются на одну дугу $PC$, поэтому $\angle PAC=\angle PBC=30^{\circ }$. Из пункта а) $\angle PCA=\angle PBA=30^{\circ }$. Значит, треугольник $PAC$ равнобедренный с основанием $AC$: $PA=PC$.

Проведём $PH\perp AC$; по условию $PH=30$. Углы при основании острые, поэтому $H$ лежит на отрезке $AC$, а высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой: $AH=HC$.

В прямоугольном треугольнике $PHC$ катет $HC$ прилежит к углу $PCH=30^{\circ }$:

$$HC=PH\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=30\sqrt{3},AC=2HC=60\sqrt{3}.$$

По теореме синусов для треугольника $ABC$ ($R$ — радиус описанной окружности)

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R\Rightarrow R=\frac{AC}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{60\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=60.$$

Проверим иначе: $PC=\frac{PH}{\sin 30^{\circ }}=60$, а по теореме синусов для треугольника $PBC$, вписанного в ту же окружность, $PC=2R\sin \angle PBC=2R\cdot \frac{1}{2}=R$. Значит, $R=60$.

Ответ: б) $60$.