ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: в остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $H$ внутри треугольника, точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$.

а) Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому третья высота $A{A}_1$ тоже проходит через $H$, а точка $H$ лежит на отрезке $A{A}_1$.

Треугольник $AH{B}_1$ прямоугольный ($\angle A{B}_{1}H=90^{\circ }$), сумма его острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle AH{B}_1=90^{\circ }-\angle HA{B}_1.$$

Треугольник $A{A}_{1}C$ тоже прямоугольный ($\angle A{A}_{1}C=90^{\circ }$), поэтому

$$\angle AC{A}_1=90^{\circ }-\angle CA{A}_1.$$

Точка $H$ лежит на луче $A{A}_1$, а $B_1$ — на луче $AC$, поэтому $\angle HA{B}_1=\angle A_{1}AC$. Правые части равенств совпадают, значит,

$$\angle AH{B}_1=\angle AC{A}_1=\angle ACB.$$

Что и требовалось доказать.

б) Найдём угол $B_{1}HC$. Треугольник $AC{C}_1$ прямоугольный ($\angle A{C}_{1}C=90^{\circ }$), поэтому

$$\angle AC{C}_1=90^{\circ }-\angle BAC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

Точка $H$ лежит на $C{C}_1$, а $B_1$ — на $CA$, значит, $\angle HC{B}_1=60^{\circ }$. Из прямоугольного треугольника $H{B}_{1}C$ ($\angle H{B}_{1}C=90^{\circ }$)

$$\angle B_{1}HC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к противолежащему:

$$\frac{H{B}_1}{B_{1}C}=\mathrm{ctg}\angle B_{1}HC=\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AH{B}_1$ и $BC{B}_1$ с прямыми углами при вершине $B_1$. По пункту а) $\angle AH{B}_1=\angle ACB=\angle BC{B}_1$. Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $H$ соответствует $C$, вершине $A$ — вершина $B$. Отношение гипотенуз равно отношению катетов, прилежащих к равным углам:

$$\frac{AH}{BC}=\frac{H{B}_1}{C{B}_1}=\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$BC=\frac{AH}{\sqrt{3}}=\frac{21}{\sqrt{3}}=7\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $7\sqrt{3}$.