Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Точка лежит на прямой , поэтому и . Вписанный в меньшую окружность угол прямой, значит, он опирается на диаметр: — диаметр меньшей окружности. Точно так же точка лежит на прямой , , и — диаметр большей окружности.
Пусть — центр меньшей окружности, — центр большей. Тогда — середина , — середина . Центры окружностей, касающихся в точке , лежат на одной прямой с точкой касания, причём при внутреннем касании — по одну сторону от , поэтому луч совпадает с лучом .
Меньшая окружность лежит внутри большей, поэтому прямая , выходя из , сначала встречает меньшую окружность в точке , а потом большую в точке : точка лежит на луче . Аналогично лежит на отрезке .
Треугольник равнобедренный ( — радиусы), треугольник тоже (). Углы при их основаниях равны:
Углы и — это один и тот же угол (лучи и совпадают, лучи и совпадают). Поэтому
Углы и — соответственные при прямых , и секущей (точки и лежат по одну сторону от ). Они равны, значит, . Что и требовалось доказать.
б) Радиусы равны и , поэтому диаметры и .
Прямоугольные треугольники и () подобны по острому углу: из пункта а). Вершине соответствует , вершине — вершина , и коэффициент подобия
Значит, . Пусть (треугольник равнобедренный), тогда .
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике
Проверим через большую окружность: , и — верно.
Ответ: б) .