ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle QWP=\alpha$, $\angle QPW=\beta$. По условию угол $\alpha$ острый, а радиус описанной окружности $R=\frac{5}{4}$, то есть $2R=\frac{5}{2}$.

По теореме синусов в треугольнике $PQW$ каждая сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R$:

$$\frac{PQ}{\sin \alpha }=2R\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2}{5/2}=\frac{4}{5},$$

$$\frac{QW}{\sin \beta }=2R\Rightarrow \sin \beta =\frac{3/2}{5/2}=\frac{3}{5}.$$

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $QW<PQ$, то $\beta <\alpha$, а угол $\alpha$ острый, значит, и угол $\beta$ острый. Косинусы острых углов положительны, по основному тригонометрическому тождеству

$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5},\cos \beta =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

По формуле синуса суммы

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1.$$

Так как $0^{\circ }<\alpha +\beta <180^{\circ }$, а на этом промежутке синус равен $1$ только при $90^{\circ }$, то $\alpha +\beta =90^{\circ }$. Тогда

$$\angle PQW=180^{\circ }-(\alpha +\beta )=90^{\circ },$$

и треугольник $PQW$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Проведём диагонали $AC$ и $BD$. Из условия $AP:PB=1:3$, $CQ:QB=1:3$, $CW:WD=1:3$; обозначим $AP=x$, $PB=3x$, $CQ=y$, $QB=3y$, $CW=z$, $WD=3z$.

У треугольников $BPQ$ и $BAC$ общий угол $B$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны:

$$\frac{BP}{BA}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4},\frac{BQ}{BC}=\frac{3y}{4y}=\frac{3}{4}.$$

Значит, $△BPQ\sim △BAC$ по второму признаку подобия с коэффициентом $\frac{3}{4}$. Отсюда $\angle BPQ=\angle BAC$ (соответственные углы), поэтому $PQ\parallel AC$, и

$$\frac{PQ}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow AC=\frac{4}{3}PQ=\frac{4}{3}\cdot 2=\frac{8}{3}.$$

Точно так же у треугольников $CQW$ и $CBD$ общий угол $C$ и

$$\frac{CQ}{CB}=\frac{y}{4y}=\frac{1}{4},\frac{CW}{CD}=\frac{z}{4z}=\frac{1}{4},$$

поэтому $△CQW\sim △CBD$ с коэффициентом $\frac{1}{4}$, $QW\parallel BD$ и

$$BD=4QW=4\cdot \frac{3}{2}=6.$$

Прямые $AC$ и $BD$ параллельны сторонам $PQ$ и $QW$ прямого угла $PQW$, поэтому $AC\perp BD$.

Четырёхугольник выпуклый, поэтому его диагонали пересекаются в некоторой точке $O$, лежащей на обеих диагоналях. Диагональ $AC$ делит четырёхугольник на треугольники $ABC$ и $ADC$, а $BO$ и $DO$ — их высоты, проведённые к $AC$. Значит,

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BO+\frac{1}{2}AC\cdot DO=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}\cdot 6=8.$$

Ответ: б) $8$.