ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: вершины пятиугольника идут по окружности в порядке $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$ внутри пятиугольника. Радиус окружности обозначим $R$.

а) Противоположные стороны параллелограмма $BCDM$ параллельны: $CD\parallel BM$ и $BC\parallel MD$. Точка $M$ лежит на прямых $BE$ и $AD$, поэтому

$$CD\parallel BE,BC\parallel AD.$$

Пятиугольник вписанный, значит, выпуклый, и диагональ $BD$ отделяет вершину $C$ от вершин $A$ и $E$. Поэтому углы $CDB$ и $DBE$ — накрест лежащие при параллельных прямых $CD$ и $BE$ и секущей $BD$, и они равны:

$$\angle CDB=\angle DBE.$$

По следствию из теоремы синусов хорда окружности равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, который на неё опирается. Угол $CDB$ опирается на хорду $BC$ (треугольник $BCD$), угол $DBE$ — на хорду $DE$ (треугольник $BDE$):

$$BC=2R\sin \angle CDB,DE=2R\sin \angle DBE.$$

Углы равны, поэтому $BC=DE$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=x$. Так же, как в пункте а), из $BC\parallel AD$ с секущей $BD$ получаем равные накрест лежащие углы $\angle CBD=\angle BDA$ (точки $C$ и $A$ лежат по разные стороны от $BD$). Угол $CBD$ опирается на хорду $CD$, угол $BDA$ — на хорду $AB$, поэтому

$$CD=AB=x.$$

Противоположные стороны параллелограмма $BCDM$ равны:

$$BM=CD=x,DM=BC=DE=9.$$

Точка $M$ лежит на диагоналях между их концами, поэтому

$$AM=AD-MD=13-9=4,ME=BE-BM=15-x.$$

В треугольнике $ABM$ равны стороны $AB$ и $BM$, а в треугольнике $EDM$ — стороны $DM$ и $DE$. Оба треугольника равнобедренные, и углы при их основаниях равны:

$$\angle BAM=\angle BMA,\angle DME=\angle DEM.$$

Углы $BMA$ и $DME$ равны как вертикальные. Значит,

$$\angle BAM=\angle BMA=\angle DME=\angle DEM,$$

и треугольники $ABM$ и $EDM$ подобны по двум углам (вершине $B$ соответствует $D$, основанию $AM$ — основание $EM$). В подобных треугольниках отношение основания к боковой стороне одно и то же:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{ME}{DE},\frac{4}{x}=\frac{15-x}{9}.$$

Отсюда $x(15-x)=36$, то есть

$$x^2-15x+36=0,(x-3)(x-12)=0,x=3\text{или}x=12.$$

Это же уравнение даёт свойство пересекающихся хорд: $AM\cdot MD=BM\cdot ME$, то есть $4\cdot 9=x(15-x)$.

По условию $AB>BC=9$, поэтому подходит только $x=12$.

Ответ: б) $12$.