На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя развёрнутое

На стороне $A C$ равностороннего треугольника $A B C$ отмечена точка $M$ . Серединный перпендикуляр к отрезку $B M$ пересекает стороны $A B$ и $B C$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $A E M$ и $C M K$ подобны.

б) Найдите отношение $A M : M C$ , если площади треугольников $A E M$ и $C M K$ равны 4 и 9 соответственно.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Серединный перпендикуляр EK к отрезку BM

а) Пусть $O$ — середина отрезка $B M$ , тогда прямая $E K$ проходит через $O$ и перпендикулярна $B M$ . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Точки $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к $B M$ , поэтому

$E B = E M, K B = K M .$

Обозначим $∠ A M E = α$ . Все углы равностороннего треугольника равны $6 0^{\circ}$ , поэтому в треугольнике $A E M$ по теореме о сумме углов

$∠ A E M = 18 0^{\circ} - ∠ E A M - ∠ A M E = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - α = 12 0^{\circ} - α .$

Рисунок к решению

Треугольники $E B K$ и $E M K$ равны по трём сторонам: $E B = E M$ , $K B = K M$ , сторона $E K$ общая. В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому

$∠ E M K = ∠ E B K = ∠ A B C = 6 0^{\circ} .$

Точка $M$ лежит на стороне $A C$ , точка $E$ — на стороне $A B$ , точка $K$ — на стороне $B C$ . Поэтому лучи $M E$ и $M K$ проходят внутри развёрнутого угла $A M C$ в порядке $M A$ , $M E$ , $M K$ , $M C$ , и

$∠ A M E + ∠ E M K + ∠ K M C = 18 0^{\circ} \Rightarrow ∠ C M K = 18 0^{\circ} - α - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} - α .$

Значит, $∠ A E M = ∠ C M K = 12 0^{\circ} - α$ . Тогда и третьи углы равны: в треугольнике $C M K$ угол $M K C$ равен $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - (12 0^{\circ} - α) = α = ∠ A M E$ .

Итак, в треугольниках $A E M$ и $C M K$ равны углы $∠ E A M = ∠ M C K = 6 0^{\circ}$ и $∠ A E M = ∠ C M K$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $C$ , вершине $E$ — вершина $M$ , вершине $M$ — вершина $K$ . Что и требовалось доказать.

б) Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{A E M}}{S _{C M K}} = \frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^{2} \Rightarrow k = \frac{2}{3} .$

Значит, каждая сторона треугольника $A E M$ составляет $\frac{2}{3}$ соответственной стороны треугольника $C M K$ :

$\frac{A M}{C K} = \frac{A E}{C M} = \frac{E M}{M K} = \frac{2}{3} .$

Пусть $A M = 2 x$ , $C K = 3 x$ , $A E = 2 y$ , $C M = 3 y$ , $E M = 2 z$ , $M K = 3 z$ . Из пункта а) $E B = E M = 2 z$ и $B K = K M = 3 z$ .

Рисунок к решению

Выразим стороны треугольника $A B C$ :

$A B = A E + E B = 2 y + 2 z, B C = B K + K C = 3 z + 3 x, A C = A M + M C = 2 x + 3 y .$

Треугольник $A B C$ равносторонний, поэтому $A B = A C$ и $B C = A C$ :

${2 y + 2 z = 2 x + 3 y, 3 z + 3 x = 2 x + 3 y . \Rightarrow {2 z = 2 x + y, 3 z = 3 y - x .$

Из первого уравнения $z = x + \frac{y}{2}$ . Подставим во второе:

$3 x + \frac{3 y}{2} = 3 y - x, 4 x = \frac{3 y}{2}, y = \frac{8 x}{3} .$

Тогда

$\frac{A M}{M C} = \frac{2 x}{3 y} = \frac{2 x}{3 \cdot \frac{8 x}{3}} = \frac{2 x}{8 x} = \frac{1}{4} .$

Тот же результат быстрее даёт сравнение периметров. Периметры подобных треугольников тоже относятся как $k = \frac{2}{3}$ . Пусть сторона треугольника $A B C$ равна $a$ , $A M = m$ . Используя $E M = E B$ и $M K = K B$ , получаем

$P_{A E M} = A E + E B + A M = a + m, P_{C M K} = C M + K B + K C = (a - m) + a = 2 a - m .$

Из $\frac{a + m}{2 a - m} = \frac{2}{3}$ находим $3 a + 3 m = 4 a - 2 m$ , $m = \frac{a}{5}$ , и $A M : M C = \frac{a}{5} : \frac{4 a}{5} = 1 : 4$ .

Ответ: б) $1 : 4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18