ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Угол $C$ треугольника $ABC$ прямой, так как $AC$ и $BC$ — катеты. Точка $M$ лежит на катете $AC$, точка $N$ — на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=CB$, $CN=CA$.

а) Нужно доказать, что $\angle HCF=90^{\circ }$.

Точки $B$, $C$, $N$ лежат на одной прямой, поэтому угол $ACN$ смежный с прямым углом $ACB$ и тоже прямой: $\angle ACN=90^{\circ }$. Так как $M$ лежит на луче $CA$, то $\angle MCN=90^{\circ }$.

Треугольники $ACB$ и $NCM$ прямоугольные, и у них $CA=CN$, $CB=CM$. Значит, они равны по двум катетам (по двум сторонам и углу между ними). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: против катета $CA$ лежит угол $ABC$, против равного ему катета $CN$ — угол $CMN$. Обозначим $\angle ABC=\beta$, тогда

$$\angle CMN=\angle ABC=\beta .$$

$CH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведённая к гипотенузе, поэтому $H$ лежит на отрезке $AB$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$, поэтому $\angle BCH=90^{\circ }-\beta$, и

$$\angle HCA=\angle BCA-\angle BCH=90^{\circ }-(90^{\circ }-\beta )=\beta .$$

$CF$ — высота прямоугольного треугольника $NCM$, проведённая к гипотенузе $MN$, поэтому $F$ лежит на отрезке $MN$ и $\angle CMF=\angle CMN=\beta$. Из прямоугольного треугольника $CFM$ ($\angle CFM=90^{\circ }$)

$$\angle MCF=90^{\circ }-\angle CMF=90^{\circ }-\beta .$$

Луч $CM$ совпадает с лучом $CA$. Точка $H$ лежит по ту же сторону от прямой $AC$, что и $B$, а точка $F$ — по ту же сторону, что и $N$. Точки $B$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $AC$ (точка $C$ между ними), поэтому луч $CA$ проходит между лучами $CH$ и $CF$, и

$$\angle HCF=\angle HCA+\angle ACF=\beta +(90^{\circ }-\beta )=90^{\circ }.$$

Значит, $CF\perp CH$. Что и требовалось доказать.

б) По условию $BC=2$, $AC=5$, значит, $CM=CB=2$, $CN=CA=5$.

Треугольник $BCM$ прямоугольный ($\angle BCM=90^{\circ }$) и равнобедренный ($CB=CM$), поэтому его острые углы равны $45^{\circ }$: $\angle CBM=45^{\circ }$. Точно так же треугольник $ACN$ прямоугольный ($\angle ACN=90^{\circ }$) и равнобедренный ($CA=CN$), поэтому $\angle CNA=45^{\circ }$.

Рассмотрим отрезок $BN$. Лучи $BM$ и $NA$ выходят из его концов по одну сторону от прямой $BN$ (точки $M$ и $A$ лежат по одну сторону от неё) и образуют с ним углы $\angle NBM=45^{\circ }$ и $\angle BNA=45^{\circ }$. Сумма этих углов меньше $180^{\circ }$, поэтому лучи пересекаются — это и есть точка $L$, и получается треугольник $BLN$ с углами $45^{\circ }$ при вершинах $B$ и $N$. Третий его угол

$$\angle BLN=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }.$$

Треугольник $BLN$ прямоугольный и равнобедренный: $NL=BL$. Его гипотенуза $BN=BC+CN=2+5=7$. По теореме Пифагора

$$B{N}^2=N{L}^2+B{L}^2=2N{L}^2\Rightarrow N{L}^2=\frac{B{N}^2}{2}=\frac{49}{2}.$$

Точка $M$ лежит на прямой $BL$, а $BL\perp LN$, поэтому треугольник $MLN$ прямоугольный с прямым углом $L$. Его гипотенуза $MN$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $MCN$, по теореме Пифагора

$$M{N}^2=C{M}^2+C{N}^2=2^2+5^2=29.$$

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $MLN$

$$M{L}^2=M{N}^2-N{L}^2=29-\frac{49}{2}=\frac{9}{2},ML=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Проверим другим путём: $BM=2\sqrt{2}$ как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом $2$, а $BL=\frac{7}{\sqrt{2}}$. Тогда $ML=BL-BM=\frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$ — то же самое.

Ответ: б) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.