ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Из условия $BE:EA=3:1$ следует, что $BE=\frac{3}{4}BA$, а из $BF:FC=3:1$ — что $BF=\frac{3}{4}BC$. У треугольников $BEF$ и $BAC$ общий угол $B$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны:

$$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{4}.$$

Значит, $△BEF\sim △BAC$ по второму признаку подобия с коэффициентом $\frac{3}{4}$. Отсюда $\angle BEF=\angle BAC$, это соответственные углы при прямых $EF$, $AC$ и секущей $AB$, поэтому $EF\parallel AC$. Кроме того, $EF=\frac{3}{4}AC$.

Введём обозначения: $AE=x$, $EB=3x$, $BF=3y$, $FC=y$, $AC=4t$, тогда $EF=3t$.

Прямая $EF$ делит треугольник $ABC$ на треугольник $BEF$ и трапецию $AEFC$. Вписанная окружность касается прямой $EF$, значит, целиком лежит по одну сторону от неё — по ту же, что и сторона $AC$, которой окружность тоже касается. Следовательно, окружность лежит внутри трапеции $AEFC$ и касается всех её сторон: $AE$, $EF$, $FC$ и $CA$. То есть в четырёхугольник $AEFC$ вписана окружность.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$$AE+FC=EF+AC\Rightarrow x+y=3t+4t=7t.$$

Периметр треугольника равен $24$:

$$AB+BC+AC=4x+4y+4t=24\Rightarrow x+y+t=6.$$

Подставим $x+y=7t$:

$$7t+t=6,t=\frac{3}{4},AC=4t=3.$$

Что и требовалось доказать.

б) Теперь $\angle ACB=90^{\circ }$.

Из пункта а) $AC=3$, значит, $AB+BC=24-3=21$. Пусть $BC=a$, тогда $AB=21-a$. Треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$, по теореме Пифагора

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2,(21-a{)}^2=3^2+a^2.$$

Раскроем скобки:

$$441-42a+a^2=9+a^2,42a=432,a=\frac{432}{42}=\frac{72}{7}.$$

Тогда $AB=21-\frac{72}{7}=\frac{75}{7}$ — гипотенуза действительно больше катета. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{72}{7}=\frac{108}{7}.$$

Ответ: б) $\frac{108}{7}$.