ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Соединим точки $A$ и $P$. В треугольнике $ACP$ проведём высоту $CH$ к стороне $AP$; она пересекает отрезок $AB$ в точке $K$. По условию $\angle ABP=\angle ACP=90^{\circ }$.

а) Из точек $B$ и $C$ отрезок $AP$ виден под прямым углом. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре (вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой). Значит, точки $A$, $C$, $B$, $P$ лежат на одной окружности с диаметром $AP$.

Проверим, что точки $B$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. По условию отрезок $CP$ пересекает сторону $AB$ в некоторой точке $T$, отличной от $A$. Точка $T$ лежит на отрезке $AB$, поэтому она по ту же сторону от прямой $AC$, что и $B$. Точка $P$ лежит на луче $CT$, значит, тоже по эту сторону.

Тогда вписанные углы $ABC$ и $APC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$, поэтому

$$\angle ABC=\angle APC.$$

Треугольник $ACP$ прямоугольный с прямым углом $C$, и $CH$ — его высота, проведённая к гипотенузе $AP$; точка $H$ лежит на гипотенузе. Из прямоугольного треугольника $AHC$ ($\angle AHC=90^{\circ }$) и прямоугольного треугольника $ACP$ ($\angle ACP=90^{\circ }$) получаем, что сумма острых углов в каждом из них равна $90^{\circ }$:

$$\angle ACH=90^{\circ }-\angle CAP,\angle APC=90^{\circ }-\angle CAP.$$

Значит, $\angle ACH=\angle APC=\angle ABC$. Оба угла острые: угол $ABC$ острый, так как тупой угол треугольника $ABC$ — это $C$. Что и требовалось доказать.

б) Точка $K$ лежит на высоте $CH$, поэтому $\angle ACK=\angle ACH$, и по пункту а)

$$\angle ACK=\angle ABC.$$

Точка $K$ лежит на отрезке $AB$, поэтому угол $KAC$ совпадает с углом $BAC$.

Треугольники $AKC$ и $ACB$ подобны по двум углам: $\angle KAC=\angle CAB$ (общий) и $\angle ACK=\angle ABC$. При этом вершине $A$ соответствует $A$, вершине $K$ — вершина $C$, вершине $C$ — вершина $B$. Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:

$$\frac{AK}{AC}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow A{C}^2=AK\cdot AB.$$

Точка $K$ лежит между $A$ и $B$, поэтому $AB=AK+KB=7+21=28$. Тогда

$$A{C}^2=7\cdot 28=196,AC=14.$$

Ответ: б) $14$.