На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя развёрнутое

На стороне $B C$ треугольника $A B C$ отмечена точка $D$ так, что $A B = B D$ . Биссектриса $B F$ треугольника $A B C$ пересекает прямую $A D$ в точке $E$ .
Из точки $C$ на прямую $A D$ опущен перпендикуляр $C K$ .

а) Докажите, что $A B : B C = A E : E K$ .

б) Найдите отношение площади треугольника $A B E$ к площади четырёхугольника $C D E F$ , если $B D : D C = 5 : 2$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Треугольник ABC, биссектриса BF, перпендикуляр CK

а) Так как $A B = B D$ , треугольник $A B D$ равнобедренный с основанием $A D$ . Его биссектриса $B E$ , проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Поэтому $B F ⊥ A D$ и $E$ — середина $A D$ .

Рисунок к решению

По условию $C K ⊥ A D$ . Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны, поэтому $E F ∥ K C$ .

Угол $A D B$ острый (это угол при основании равнобедренного треугольника), поэтому смежный с ним угол $A D C$ тупой, и основание $K$ перпендикуляра из $C$ лежит на продолжении $A D$ за точку $D$ .

Параллельные прямые $E F$ и $K C$ пересекают стороны угла $K A C$ . По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса)

$\frac{A E}{E K} = \frac{A F}{F C} .$

Биссектриса $B F$ делит сторону $A C$ в отношении прилежащих сторон:

$\frac{A F}{F C} = \frac{A B}{B C} .$

Следовательно, $\frac{A B}{B C} = \frac{A E}{E K}$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $B D = A B = 5 x$ , тогда $D C = 2 x$ , $B C = 7 x$ . Обозначим $∠ F B C = α$ .

Рисунок к решению

По свойству биссектрисы $A F : F C = A B : B C = 5 : 7$ , а по пункту а) $A E : E K = 5 : 7$ . Так как $E$ — середина $A D$ , положим $A E = E D = 5 t$ , тогда $E K = 7 t$ и $D K = E K - E D = 2 t$ .

Треугольники $B E D$ и $C K D$ подобны по двум углам: $∠ B E D = ∠ C K D = 9 0^{\circ}$ , $∠ B D E = ∠ C D K$ как вертикальные. Коэффициент подобия $\frac{B D}{C D} = \frac{5}{2}$ , поэтому если $B E = 5 u$ , то $K C = 2 u$ .

Треугольники $A E F$ и $A K C$ подобны ( $E F ∥ K C$ , угол $A$ общий) с коэффициентом

$\frac{A E}{A K} = \frac{5 t}{5 t + 5 t + 2 t} = \frac{5}{12} .$

Значит,

$E F = \frac{5}{12} \cdot K C = \frac{5}{12} \cdot 2 u = \frac{5 u}{6}, B F = B E + E F = 5 u + \frac{5 u}{6} = \frac{35 u}{6} .$

Отрезок $B E$ — медиана треугольника $A B D$ , поэтому $S_{A B E} = S_{B E D}$ .

Треугольник $B F C$ состоит из треугольника $B E D$ и четырёхугольника $C D E F$ . Площади треугольников $B E D$ и $B F C$ с общим углом $α$ найдём по формуле $S = \frac{1}{2} ab sin α$ :

$\frac{S _{B E D}}{S _{B F C}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot B E \cdot B D \cdot sin α}{\frac{1}{2} \cdot B F \cdot B C \cdot sin α} = \frac{5 u \cdot 5 x}{\frac{35 u}{6} \cdot 7 x} = \frac{25 \cdot 6}{245} = \frac{30}{49} .$

Пусть $S_{B E D} = 30 S$ , тогда $S_{B F C} = 49 S$ и

$S_{C D E F} = S_{B F C} - S_{B E D} = 49 S - 30 S = 19 S .$

Следовательно,

$\frac{S _{A B E}}{S _{C D E F}} = \frac{S _{B E D}}{S _{C D E F}} = \frac{30 S}{19 S} = \frac{30}{19} .$

Ответ: б) $\frac{30}{19}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18