ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: прямоугольник $ABCD$, окружность проходит через $C$ и касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $K$ и $P$, $CH$ — перпендикуляр к хорде $KP$.

а) Прямая $KB$ касается окружности в точке $K$, а $KC$ — хорда. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу между ними. Прямая $KC$ отделяет вершину $B$ от точек $A$ и $D$, поэтому точка $P$ лежит на другой дуге, и вписанный угол $KPC$ опирается на ту же дугу $KC$. Значит,

$$\angle BKC=\angle KPC.$$

Точно так же для касательной $PD$ и хорды $PC$

$$\angle DPC=\angle PKC.$$

Углы $BKC$ и $DPC$ острые как острые углы прямоугольных треугольников $CBK$ и $CDP$. Значит, в треугольнике $CKP$ углы при стороне $KP$ острые, и основание $H$ высоты $CH$ лежит на отрезке $KP$. Поэтому $\angle HPC=\angle KPC$ и $\angle HKC=\angle PKC$.

Рассмотрим треугольники $CBK$ и $CHP$. В них $\angle CBK=\angle CHP=90^{\circ }$ и $\angle BKC=\angle HPC$. По двум углам

$$△CBK\sim △CHP,$$

что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $CBK$ и $CHP$ (вершина $B$ соответствует $H$, вершина $K$ — вершине $P$)

$$\frac{CB}{CH}=\frac{CK}{CP}.$$

Аналогично треугольники $CDP$ и $CHK$ подобны по двум углам: $\angle CDP=\angle CHK=90^{\circ }$ и $\angle DPC=\angle HKC$. Вершина $D$ соответствует $H$, вершина $P$ — вершине $K$, поэтому

$$\frac{CD}{CH}=\frac{CP}{CK}.$$

Перемножим два равенства:

$$\frac{CB\cdot CD}{C{H}^2}=\frac{CK}{CP}\cdot \frac{CP}{CK}=1\Rightarrow CB\cdot CD=C{H}^2.$$

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

$$S_{ABCD}=CB\cdot CD=C{H}^2=9^2=81.$$

Ответ: б) $81$.