ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: параллелограмм $ABCD$, диагональ $AC$, биссектриса $AL$ угла $BAC$ ($L$ на $BC$), точка $E$ на продолжении $CD$ за $D$, причём $AE=CE$. Обозначим $\angle CAD=\phi$, тогда $\angle BAC=2\phi$.

а) Так как $AL$ — биссектриса угла $BAC$,

$$\angle BAL=\angle LAC=\frac{2\phi }{2}=\phi .$$

Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle BCA=\angle CAD=\phi$.

Рассмотрим треугольники $BLA$ и $BAC$. Угол $B$ у них общий, а $\angle BAL=\angle BCA=\phi$. Значит, они подобны по двум углам, причём $B$ соответствует $B$, $A$ — вершине $C$, $L$ — вершине $A$. Соответственные стороны пропорциональны:

$$\frac{AL}{CA}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow AL\cdot BC=AB\cdot AC,$$

что и требовалось доказать.

б) По условию $\mathrm{tg}\phi =\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{3}$. Пусть $O$ — середина $AC$, тогда $AO=CO=6$.

В треугольнике $ALC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle LAC=\phi$ и $\angle LCA=\angle BCA=\phi$. Значит, он равнобедренный с основанием $AC$, и его медиана $LO$ является высотой: $LO\perp AC$.

Треугольник $AEC$ равнобедренный ($AE=CE$), поэтому его медиана $EO$ тоже является высотой: $EO\perp AC$.

Через точку $O$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $AC$, поэтому точки $L$, $O$, $E$ лежат на одной прямой. Точка $L$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ — на луче $CD$, то есть по разные стороны от прямой $AC$. Следовательно, $O$ лежит между $L$ и $E$, и $EL=EO+OL$.

Из прямоугольного треугольника $AOL$

$$OL=AO\cdot \mathrm{tg}\angle LAO=6\cdot \frac{1}{3}=2.$$

Точка $E$ лежит на луче $CD$, поэтому $\angle ECA=\angle DCA$. Стороны $AB$ и $CD$ параллельны, $AC$ — секущая, значит, $\angle DCA=\angle BAC=2\phi$. По формуле тангенса двойного угла

$$\mathrm{tg}2\phi =\frac{2\mathrm{tg}\phi }{1-{\mathrm{tg}}^2\phi }=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{8}=\frac{3}{4}.$$

Из прямоугольного треугольника $COE$

$$EO=CO\cdot \mathrm{tg}\angle ECO=6\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{2}.$$

Тогда

$$EL=EO+OL=\frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}.$$

Ответ: б) $\frac{13}{2}$.