ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения высот. Треугольник остроугольный, поэтому $O$ лежит внутри него, а основания высот лежат на сторонах.

В четырёхугольнике $AKON$ углы $K$ и $N$ прямые ($CK\perp AB$, $BN\perp AC$), их сумма равна $180^{\circ }$, поэтому около него можно описать окружность. Обозначим $\angle KAO=\alpha$. Вписанные углы $KAO$ и $KNO$ опираются на одну дугу $KO$, поэтому

$$\angle KNO=\angle KAO=\alpha .$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$, а $\angle BAH=\angle KAO=\alpha$, поэтому

$$\angle ABC=90^{\circ }-\alpha .$$

В прямоугольном треугольнике $BKC$

$$\angle BCK=90^{\circ }-\angle KBC=90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

В четырёхугольнике $CHON$ углы $H$ и $N$ прямые, поэтому он тоже вписанный, и вписанные углы $HNO$ и $HCO$ опираются на одну дугу $HO$:

$$\angle HNO=\angle HCO=\angle BCK=\alpha .$$

Точки $K$ и $H$ лежат по разные стороны от прямой $BN$, поэтому луч $NO$ лежит внутри угла $KNH$ и

$$\angle KNH=\angle KNO+\angle ONH=2\alpha =60^{\circ }.$$

Значит, $\alpha =30^{\circ }$ и $\angle ABC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$, что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $\angle BAH=\alpha =30^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ лежит против угла $30^{\circ }$ и равен половине гипотенузы:

$$AB=2BH=4.$$

Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому $BK=AB-AK=4-1=3$.

В прямоугольном треугольнике $BKC$ угол $BCK$ равен $30^{\circ }$, катет $BK$ лежит против него, поэтому

$$BC=2BK=6.$$

По теореме косинусов в треугольнике $ABC$

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=28,AC=2\sqrt{7}.$$

По теореме синусов

$$R=\frac{AC}{2\sin \angle ABC}=\frac{2\sqrt{7}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{2\sqrt{21}}{3}$.