ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому $CE=CM$. Треугольник $ECM$ равнобедренный и прямоугольный ($\angle C=90^{\circ }$), значит,

$$\angle CEM=\angle CME=45^{\circ }.$$

Прямая $CE$ касается вписанной окружности, $EM$ — хорда. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу между ними, поэтому

$$\angle EKM=\angle CEM=45^{\circ }.$$

Выясним, где лежит точка $H$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности. В четырёхугольнике $AMIK$ углы $M$ и $K$ прямые, поэтому $\angle MIK=180^{\circ }-\angle A<180^{\circ }$. Вписанный угол $MEK$ опирается на эту дугу $MK$ и равен её половине, то есть острый. В треугольнике $MEK$ углы $E$ и $K$ острые, поэтому основание $H$ перпендикуляра из $M$ лежит на отрезке $EK$.

В четырёхугольнике $ECMH$ углы $C$ и $H$ прямые, их сумма равна $180^{\circ }$. Значит, около него можно описать окружность $\omega$ (это окружность с диаметром $EM$). Точки $H$ и $M$ лежат по одну сторону от прямой $CE$ (там же, где вершина $A$), поэтому вписанные в $\omega$ углы $CHE$ и $CME$ опираются на одну дугу $CE$ и равны:

$$\angle CHE=\angle CME=45^{\circ }.$$

Прямая $EK$ отсекает от треугольника угол $B$, поэтому точки $C$ и $M$ лежат по одну сторону от неё. Лучи $HE$ и $KE$ направлены одинаково, значит, углы $CHE$ и $MKE$ — соответственные при прямых $CH$, $MK$ и секущей $EK$. Эти углы равны ($45^{\circ }$), поэтому $MK\parallel CH$, что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17.$$

Отрезок касательной из вершины треугольника до вписанной окружности равен полупериметру минус противолежащая сторона. Полупериметр $p=\frac{15+8+17}{2}=20$, поэтому

$$AK=AM=p-BC=20-8=12.$$

В прямоугольном треугольнике $MHK$ угол $K$ равен $45^{\circ }$, значит, и $\angle KMH=45^{\circ }$, и треугольник $MHK$ равнобедренный: $HM=HK$. Треугольник $AMK$ тоже равнобедренный: $AM=AK$.

Точки $A$ и $H$ равноудалены от концов отрезка $MK$, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к $MK$. Пусть $T$ — середина $MK$. Тогда прямая $AH$ проходит через $T$ и $AH\perp MK$. Точки $A$ и $H$ лежат по разные стороны от прямой $MK$ (она отсекает от треугольника угол $A$, а $H$ лежит на отрезке $EK$), поэтому $T$ лежит на отрезке $AH$.

По пункту а) $CH\parallel MK$, а $AH\perp MK$, значит, $AH\perp CH$. Треугольники $MAT$ и $CAH$ прямоугольные ($\angle ATM=\angle AHC=90^{\circ }$) и имеют общий острый угол $A$, поэтому они подобны по двум углам. Отсюда

$$\frac{CH}{MT}=\frac{AC}{AM}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}.$$

Так как $MK=2MT$, получаем

$$\frac{CH}{MK}=\frac{CH}{2MT}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{8}.$$

Ответ: б) $\frac{5}{8}$.