ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть $R=10$ — радиус описанной окружности треугольника $PQW$. По теореме синусов сторона равна $2R$, умноженному на синус противолежащего угла. Сторона $PQ$ лежит против угла $W$, сторона $QW$ — против угла $P$:

$$\sin \angle PWQ=\frac{PQ}{2R}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5},\sin \angle QPW=\frac{QW}{2R}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.$$

Угол $PWQ$ острый по условию, поэтому

$$\cos \angle PWQ=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $QW=12<PQ=16$, то $\angle QPW<\angle PWQ<90^{\circ }$, то есть угол $QPW$ тоже острый, и

$$\cos \angle QPW=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Найдём косинус суммы углов:

$$\cos \left(\angle PWQ+\angle QPW\right)=\cos \angle PWQ\cos \angle QPW-\sin \angle PWQ\sin \angle QPW=\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}-\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=0.$$

Сумма двух углов треугольника лежит между $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$, а косинус в этом промежутке обращается в нуль только при $90^{\circ }$. Значит, $\angle PWQ+\angle QPW=90^{\circ }$, и по сумме углов треугольника

$$\angle PQW=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ },$$

то есть треугольник $PQW$ прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Проведём диагонали $AC$ и $BD$.

Так как $AP:PB=3:4$ и $CQ:QB=3:4$, то $BP:BA=4:7$ и $BQ:BC=4:7$. Треугольники $BPQ$ и $BAC$ имеют общий угол $B$, а стороны, его заключающие, пропорциональны. Значит, $△BPQ\sim △BAC$ по двум сторонам и углу между ними, и

$$\frac{PQ}{AC}=\frac{4}{7}\Rightarrow AC=\frac{7}{4}\cdot 16=28.$$

Из подобия $\angle BPQ=\angle BAC$; это соответственные углы при прямых $PQ$, $AC$ и секущей $AB$, поэтому $PQ\parallel AC$.

Аналогично $CQ:CB=3:7$ и $CW:CD=3:7$ (так как $CW:WD=3:4$). Треугольники $CQW$ и $CBD$ имеют общий угол $C$ и пропорциональные стороны, поэтому $△CQW\sim △CBD$,

$$\frac{QW}{BD}=\frac{3}{7}\Rightarrow BD=\frac{7}{3}\cdot 12=28,$$

а из равенства соответственных углов $CWQ$ и $CDB$ следует $QW\parallel BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ параллельны прямым $PQ$ и $QW$, поэтому угол между диагоналями равен углу $PQW$, то есть $90^{\circ }$. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 28\cdot 28=392.$$

Ответ: б) $392$.