ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Воспользуемся свойством: трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, а диагонали равнобедренной трапеции равны.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, а $BC\parallel AD$, поэтому $BM\parallel AD$. Значит, $ABMD$ — трапеция с основаниями $BM$ и $AD$, все её вершины лежат на окружности. Она равнобедренная, и её диагонали равны:

$$AM=BD.$$

Точка $N$ лежит на прямой $CD$, а $CD\parallel AB$, поэтому $DN\parallel AB$. Точка $N$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, поэтому луч $DN$ направлен противоположно лучу $DC$, то есть противоположно лучу $AB$. Значит, $ABDN$ — трапеция с основаниями $AB$ и $DN$ и боковыми сторонами $BD$ и $NA$. Она вписана в окружность, поэтому равнобедренная:

$$AN=BD.$$

Из двух равенств получаем $AM=BD=AN$, что и требовалось доказать.

б) Искомое отношение не зависит от масштаба, поэтому положим $AB=CD=1$, $BC=AD=2$.

Найдём $BM$. Трапеция $ABMD$ равнобедренная, а угол $BAD$ при её основании $AD$ острый ($\cos \angle BAD=\frac{2}{3}>0$), поэтому $AD$ — большее основание. Опустим высоты $BP$ и $MQ$ на $AD$. Из прямоугольного треугольника $ABP$

$$AP=AB\cdot \cos \angle BAD=1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$

Прямоугольные треугольники $ABP$ и $DMQ$ равны по гипотенузе и острому углу ($AB=DM$, $\angle BAP=\angle MDQ$), поэтому $DQ=AP=\frac{2}{3}$. Четырёхугольник $BMQP$ — прямоугольник, поэтому

$$BM=PQ=AD-AP-DQ=2-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$

Тогда $CM=BC-BM=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.

Точка $M$ лежит между $B$ и $C$, поэтому точка $C$ лежит вне окружности. Из неё проведены две секущие: $CB$ (пересекает окружность в точках $M$ и $B$) и $CN$ (пересекает окружность в точках $D$ и $N$). По теореме о секущих

$$CM\cdot CB=CD\cdot CN\Rightarrow \frac{4}{3}\cdot 2=1\cdot CN\Rightarrow CN=\frac{8}{3}.$$

Точка $D$ лежит между $C$ и $N$, поэтому

$$DN=CN-CD=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3},CD:DN=1:\frac{5}{3}=3:5.$$

Ответ: б) $3:5$.