ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: квадрат $ABCD$, вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $K$ и $E$, отрезки $CK$ и $CE$ второй раз пересекают окружность в точках $M$ и $P$.

а) Центр окружности, вписанной в квадрат, — центр квадрата, а перпендикуляр из него на сторону попадает в её середину. Поэтому точки касания $K$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AD$, и

$$BK=\frac{AB}{2}=\frac{AD}{2}=DE.$$

Прямоугольные треугольники $CBK$ и $CDE$ равны по двум катетам: $CB=CD$ как стороны квадрата и $BK=DE$. Значит, $CK=CE$.

Из точки $C$ к окружности проведены две секущие $CMK$ и $CPE$. По теореме о секущих произведение секущей на её внешнюю часть одинаково для обеих секущих:

$$CM\cdot CK=CP\cdot CE.$$

Так как $CK=CE$, отсюда $CM=CP$, и тогда

$$\frac{CM}{CK}=\frac{CP}{CE}.$$

Треугольники $CMP$ и $CKE$ имеют общий угол $C$, а стороны, его заключающие, пропорциональны. Значит, они подобны по двум сторонам и углу между ними, и $\angle CMP=\angle CKE$.

Углы $CMP$ и $CKE$ — соответственные при прямых $MP$ и $KE$ и секущей $CK$. Они равны, поэтому $MP\parallel EK$, что и требовалось доказать.

б) Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны: $R=10$. Точки $K$ и $E$ — середины сторон, поэтому $AK=AE=BK=10$.

По теореме Пифагора в треугольниках $AKE$ и $CBK$:

$$KE=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2},CK=\sqrt{B{C}^2+B{K}^2}=\sqrt{20^2+10^2}=10\sqrt{5}.$$

Треугольник $CEK$ равнобедренный ($CE=CK$). Проведём его медиану $CF$ к основанию $KE$; в равнобедренном треугольнике она является и высотой, а $KF=\frac{KE}{2}=5\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника $CFK$

$$\cos \angle CKE=\frac{KF}{CK}=\frac{5\sqrt{2}}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \angle CKE=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Точки $E$, $K$, $M$ лежат на окружности радиуса $R=10$, то есть она описана около треугольника $EKM$. Точка $M$ лежит на отрезке $KC$, поэтому $\angle EKM=\angle EKC$. По теореме синусов для треугольника $EKM$

$$\frac{ME}{\sin \angle EKM}=2R\Rightarrow ME=2\cdot 10\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{60}{\sqrt{10}}=6\sqrt{10}.$$

Ответ: б) $6\sqrt{10}$.