ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: выпуклый четырёхугольник $ABCD$, точки $P$, $Q$, $W$ на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, треугольник $PQW$ и окружность, описанная около него.

а) Пусть $R=\frac{13}{4}$ — радиус описанной окружности треугольника $PQW$. По теореме синусов каждая сторона равна $2R$, умноженному на синус противолежащего угла. Сторона $PQ$ лежит против угла $W$, сторона $QW$ — против угла $P$:

$$\sin \angle PWQ=\frac{PQ}{2R}=\frac{6}{\frac{13}{2}}=\frac{12}{13},\sin \angle QPW=\frac{QW}{2R}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{13}{2}}=\frac{5}{13}.$$

Угол $PWQ$ по условию острый, поэтому его косинус положителен:

$$\cos \angle PWQ=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}.$$

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $QW=\frac{5}{2}<PQ=6$, то $\angle QPW<\angle PWQ<90^{\circ }$, то есть угол $QPW$ тоже острый.

Получаем, что острые углы $QPW$ и $90^{\circ }-\angle PWQ$ имеют одинаковый синус:

$$\sin \angle QPW=\frac{5}{13}=\cos \angle PWQ=\sin \left(90^{\circ }-\angle PWQ\right).$$

Острые углы с равными синусами равны, поэтому $\angle QPW=90^{\circ }-\angle PWQ$. По сумме углов треугольника

$$\angle PQW=180^{\circ }-\angle PWQ-\angle QPW=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ },$$

то есть треугольник $PQW$ прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Проведём диагонали $AC$ и $BD$.

Так как $AP:PB=2:3$, то $BP:BA=3:5$. Так как $CQ:QB=2:3$, то $BQ:BC=3:5$. Треугольники $BPQ$ и $BAC$ имеют общий угол $B$, и стороны, его заключающие, пропорциональны:

$$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{3}{5}.$$

Значит, $△BPQ\sim △BAC$ по двум сторонам и углу между ними, и

$$\frac{PQ}{AC}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{5}{3}\cdot 6=10.$$

Кроме того, $\angle BPQ=\angle BAC$ как соответственные углы подобных треугольников. Это соответственные углы при прямых $PQ$, $AC$ и секущей $AB$, поэтому $PQ\parallel AC$.

Аналогично $CQ:CB=2:5$ и $CW:CD=2:5$ (так как $CW:WD=2:3$). Треугольники $CQW$ и $CBD$ имеют общий угол $C$ и пропорциональные стороны, поэтому $△CQW\sim △CBD$ и

$$\frac{QW}{BD}=\frac{2}{5}\Rightarrow BD=\frac{5}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{25}{4}.$$

Из равенства соответственных углов $CWQ$ и $CDB$ следует $QW\parallel BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ параллельны прямым $PQ$ и $QW$, поэтому угол между ними равен углу между $PQ$ и $QW$, то есть $90^{\circ }$ по пункту а). Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{25}{4}=\frac{125}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{125}{4}$.