Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P. a) Докажите… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы средняя 2025 развёрнутое

Точки $K$ и $M$ — середины сторон $A B$ и $B C$ соответственно параллелограмма $A B C D .$ Отрезки $A M$ и $C K$ пересекаются в точке $P .$

a) Докажите, что точка $P$ принадлежит диагонали $B D .$

б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что $A B = 55,$ $B P = 4$ и $B C = 65.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: параллелограмм $A B C D$ , $K$ и $M$ — середины сторон $A B$ и $B C$ , отрезки $A M$ и $C K$ пересекаются в точке $P$ . Проведём диагонали $A C$ и $B D$ , пусть $O$ — точка их пересечения.

а) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $A O = O C$ и $B O = O D$ .

Рассмотрим треугольник $A B C$ . Отрезок $A M$ — его медиана ( $M$ — середина $B C$ ), $C K$ — медиана ( $K$ — середина $A B$ ), $B O$ — медиана ( $O$ — середина $A C$ ). Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому медиана $B O$ проходит через точку $P$ пересечения медиан $A M$ и $C K$ .

Отрезок $B O$ — часть диагонали $B D$ , значит, точка $P$ лежит на диагонали $B D$ , что и требовалось доказать.

б) Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, поэтому $B P : P O = 2 : 1$ , и

$P O = \frac{B P}{2} = 2, B O = B P + P O = 6, B D = 2 B O = 12.$

Противоположные стороны параллелограмма равны: $A D = B C = 65$ . В треугольнике $A B D$ известны все стороны: $A B = 55$ , $B D = 12$ , $A D = 65$ . Его полупериметр

$p = \frac{55 + 12 + 65}{2} = 66.$

По формуле Герона

$S_{A B D} = p (p - A B) (p - B D) (p - A D) = 66 \cdot 11 \cdot 54 \cdot 1 = 66 \cdot 66 \cdot 9 = 66 \cdot 3 = 198.$

Диагональ $B D$ делит параллелограмм на два равных треугольника $A B D$ и $C D B$ , поэтому

$S_{A B C D} = 2 S_{A B D} = 2 \cdot 198 = 396.$

Ответ: б) $396$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18