В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка K — середина… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции средняя 2025 развёрнутое

В трапеции $A B C D$ точка $E$ — середина основания $A D,$ точка $K$ — середина боковой стороны $A B .$ Отрезки $C E$ и $D K$ пересекаются в точке $O .$

a) Докажите, что площади четырёхугольника $A K O E$ и треугольника $C O D$ равны.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника $A K O E$ к площади трапеции $A B C D,$ если $B C = 3,$ $A D = 4.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: трапеция $A B C D$ с основаниями $B C = 3$ и $A D = 4$ , $E$ — середина $A D$ , $K$ — середина $A B$ , $O$ — точка пересечения отрезков $C E$ и $D K$ . Пусть $h$ — высота трапеции.

а) Расстояние от точки $B$ до прямой $A D$ равно $h$ , поэтому $S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot h$ . Отрезок $D K$ — медиана треугольника $A B D$ , а медиана делит треугольник на два равновеликих, поэтому

$S_{A K D} = \frac{1}{2} S_{A B D} = \frac{A D \cdot h}{4} .$

Расстояние от точки $C$ до прямой $A D$ тоже равно $h$ , а $E D = \frac{A D}{2}$ , поэтому

$S_{E C D} = \frac{1}{2} \cdot E D \cdot h = \frac{A D \cdot h}{4} .$

Значит, $S_{A K D} = S_{E C D}$ .

Точка $O$ лежит на отрезке $D K$ , поэтому отрезок $E O$ делит треугольник $A K D$ на четырёхугольник $A K O E$ и треугольник $E O D$ . Точка $O$ лежит и на отрезке $E C$ , поэтому отрезок $D O$ делит треугольник $E C D$ на треугольники $E O D$ и $C O D$ :

$S_{A K D} = S_{A K O E} + S_{E O D}, S_{E C D} = S_{E O D} + S_{C O D} .$

Левые части равны, поэтому $S_{A K O E} = S_{C O D}$ , что и требовалось доказать.

б) По пункту а) достаточно найти отношение $S_{C O D} : S_{A B C D}$ .

Продлим $D K$ до пересечения с прямой $B C$ в точке $L$ . Треугольники $B K L$ и $A K D$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $B K = A K$ по условию, $∠ B K L = ∠ A K D$ как вертикальные, $∠ K B L = ∠ K A D$ как накрест лежащие при $B L ∥ A D$ и секущей $A B$ . Поэтому

$B L = A D = 4, S_{B K L} = S_{A K D} .$

Точки $L$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $A B$ , а $C$ и $D$ — по одну, поэтому $L$ лежит на продолжении $C B$ за точку $B$ , и

$C L = C B + B L = 3 + 4 = 7.$

Треугольник $L C D$ составлен из треугольника $B K L$ и четырёхугольника $K B C D$ , а трапеция — из треугольника $A K D$ и того же четырёхугольника. Значит,

$S_{A B C D} = S_{A K D} + S_{K B C D} = S_{B K L} + S_{K B C D} = S_{L C D} .$

Треугольники $C O D$ и $C L D$ имеют общую вершину $C$ , а их стороны $O D$ и $L D$ лежат на одной прямой. Высоты из $C$ у них общие, поэтому

$\frac{S _{C O D}}{S _{C L D}} = \frac{O D}{L D} .$

Треугольники $E O D$ и $C O L$ подобны по двум углам: $∠ E O D = ∠ C O L$ как вертикальные, $∠ O D E = ∠ O L C$ как накрест лежащие при $E D ∥ L C$ и секущей $D L$ . Поэтому

$\frac{D O}{O L} = \frac{E D}{C L} = \frac{2}{7} .$

Значит, $D O : D L = 2 : (2 + 7) = 2 : 9$ , и

$\frac{S _{A K O E}}{S _{A B C D}} = \frac{S _{C O D}}{S _{L C D}} = \frac{D O}{D L} = \frac{2}{9} .$

Ответ: б) $2 : 9$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18