Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2023 развёрнутое

Точка $B$ лежит на отрезке $A C$ . Прямая, проходящая через точку $A$ , касается окружности с диаметром $B C$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $A B$ в точке $K$ . Продолжение отрезка $M B$ пересекает окружность с диаметром $A B$ в точке $D$ .

а) Докажите, что прямые $A D$ и $M C$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $D B C$ , если $A K = 5$ и $K M = 25$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружности с диаметрами AB и BC, касательная AM

а) Точка $D$ лежит на окружности с диаметром $A B$ , поэтому вписанный угол $A D B$ опирается на диаметр и равен $9 0^{\circ}$ . Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $B C$ , поэтому $∠ B M C = 9 0^{\circ}$ .

Рисунок к решению

Точки $M$ , $B$ , $D$ лежат на одной прямой, значит, $A D ⊥ M D$ и $M C ⊥ M D$ . Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому $A D ∥ M C$ , что и требовалось доказать.

б) Точка $K$ лежит на отрезке $A M$ , поэтому $A M = A K + K M = 5 + 25 = 30$ .

Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $B C$ . Тогда $O B = O C = O M$ как радиусы. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $O M ⊥ A M$ .

Угол $A K B$ вписан в окружность с диаметром $A B$ и опирается на диаметр, поэтому $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ , то есть $B K ⊥ A M$ . Прямые $B K$ и $O M$ перпендикулярны одной прямой $A M$ , значит, $B K ∥ O M$ .

Параллельные прямые $K B$ и $M O$ пересекают стороны угла $M A O$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{A B}{B O} = \frac{A K}{K M} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} .$

Положим $A B = x$ , тогда $B O = O M = O C = 5 x$ , $A O = 6 x$ , $B C = 10 x$ .

Треугольник $A M O$ прямоугольный с прямым углом $M$ . По теореме Пифагора

$A O^{2} = A M^{2} + M O^{2} \Rightarrow 36 x^{2} = 900 + 25 x^{2} \Rightarrow 11 x^{2} = 900 \Rightarrow x = \frac{30}{11} .$

Значит, $B C = 10 x = \frac{300}{11}$ .

Проведём высоты $D H$ и $M T$ к прямой $A C$ .

Рисунок к решению

Треугольники $A D B$ и $C M B$ подобны по двум углам: $∠ A D B = ∠ C M B = 9 0^{\circ}$ , а $∠ A B D = ∠ C B M$ как вертикальные. Коэффициент подобия равен

$\frac{A B}{C B} = \frac{x}{10 x} = \frac{1}{10} .$

В подобных треугольниках соответственные высоты относятся как соответственные стороны. Высоты $D H$ и $M T$ проведены к соответственным сторонам $A B$ и $C B$ , поэтому

$\frac{D H}{M T} = \frac{1}{10} .$

Найдём $M T$ — высоту прямоугольного треугольника $A M O$ , проведённую к гипотенузе. Она равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$M T = \frac{A M \cdot M O}{A O} = \frac{30 \cdot 5 x}{6 x} = 25.$

Тогда $D H = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ . Высота треугольника $D B C$ , проведённая к стороне $B C$ , — это $D H$ , поэтому

$S_{D B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot D H = \frac{1}{2} \cdot \frac{300}{11} \cdot \frac{5}{2} = \frac{375}{11} .$

Ответ: б) $\frac{375}{11}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18