В трапецию ABCD с большим основанием AD вписана окружность, которая… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2017 развёрнутое

В трапецию $A B C D$ с большим основанием $A D$ вписана окружность, которая касается боковых сторон $A B$ и $C D$ в точках $N$ и $M$ соответственно, причем $A N : N B = 8 : 1,$ $D M : M C = 2 : 1.$

а) Докажите, что $A D = 4 B C .$

б) Найдите $M N$ , если известно, что радиус данной окружности равен $6 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: трапеция $A B C D$ с основаниями $B C$ и $A D$ , вписанная окружность касается $A B$ в точке $N$ , $C D$ — в точке $M$ , а оснований $B C$ и $A D$ — в точках $K$ и $L$ .

а) Так как $A N : N B = 8 : 1$ и $D M : M C = 2 : 1$ , положим $A N = 8 x$ , $N B = x$ , $C M = y$ , $M D = 2 y$ .

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Поэтому

$B K = B N = x, C K = C M = y, A L = A N = 8 x, D L = D M = 2 y .$

Отсюда

$A B = 9 x, C D = 3 y, B C = x + y, A D = 8 x + 2 y, A D - B C = 7 x + y .$

Боковые стороны трапеции не параллельны. Продлим их до пересечения в точке $P$ ; так как $A D$ — большее основание, точка $P$ лежит за точками $B$ и $C$ .

Треугольники $P B C$ и $P A D$ подобны по двум углам: угол $P$ общий, а $∠ P B C = ∠ P A D$ как соответственные при $B C ∥ A D$ и секущей $P A$ . Поэтому

$\frac{P A}{P B} = \frac{A D}{B C} .$

Подставим $P A = P B + A B$ :

$\frac{P B + A B}{P B} = \frac{A D}{B C} \Rightarrow \frac{A B}{P B} = \frac{A D - B C}{B C} \Rightarrow P B = \frac{A B \cdot B C}{A D - B C} = \frac{9 x ( x + y )}{7 x + y} .$

Точно так же из $\frac{P D}{P C} = \frac{A D}{B C}$ и $P D = P C + C D$ получаем

$P C = \frac{C D \cdot B C}{A D - B C} = \frac{3 y ( x + y )}{7 x + y} .$

Из точки $P$ к окружности проведены две касательные $P N$ и $P M$ , поэтому $P N = P M$ . При этом $P N = P B + B N = P B + x$ и $P M = P C + C M = P C + y$ . Получаем уравнение

$x + \frac{9 x ( x + y )}{7 x + y} = y + \frac{3 y ( x + y )}{7 x + y} .$

Умножим обе части на $7 x + y > 0$ :

$7 x^{2} + x y + 9 x^{2} + 9 x y = 7 x y + y^{2} + 3 x y + 3 y^{2} \Rightarrow 16 x^{2} = 4 y^{2} .$

Так как $x > 0$ и $y > 0$ , отсюда $y = 2 x$ . Тогда

$B C = x + 2 x = 3 x, A D = 8 x + 4 x = 12 x = 4 B C,$

что и требовалось доказать.

б) Подставим $y = 2 x$ в найденные выражения:

$P B = \frac{9 x \cdot 3 x}{9 x} = 3 x, P C = \frac{6 x \cdot 3 x}{9 x} = 2 x .$

Тогда

$P N = P B + x = 4 x, P M = P C + 2 x = 4 x, P A = P B + A B = 12 x, P D = P C + C D = 8 x, A D = 12 x .$

Обозначим $∠ A P D = α$ . По теореме косинусов в треугольнике $A P D$

$A D^{2} = P A^{2} + P D^{2} - 2 \cdot P A \cdot P D \cdot cos α \Rightarrow 144 x^{2} = 144 x^{2} + 64 x^{2} - 192 x^{2} cos α,$

откуда $cos α = \frac{64}{192} = \frac{1}{3}$ . Угол треугольника лежит между $0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$ , поэтому его синус положителен:

$sin α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3} .$

Найдём $x$ . Окружность касается прямых $P A$ , $P D$ и $A D$ и лежит внутри треугольника $A P D$ , значит, это вписанная окружность треугольника $A P D$ , и её радиус $r = 6$ . Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$ . Здесь

$S_{A P D} = \frac{1}{2} \cdot P A \cdot P D \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 12 x \cdot 8 x \cdot \frac{2 2}{3} = 322 x^{2}, p = \frac{12 x + 8 x + 12 x}{2} = 16 x .$

Тогда

$322 x^{2} = 16 x \cdot 6 \Rightarrow x = \frac{6}{2 2} = \frac{3}{2} .$

Теперь найдём $M N$ по теореме косинусов в треугольнике $N P M$ :

$M N^{2} = P N^{2} + P M^{2} - 2 \cdot P N \cdot P M \cdot cos α = 16 x^{2} + 16 x^{2} - 2 \cdot 16 x^{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{64 x ^{2}}{3} .$

Значит,

$M N = \frac{8 x}{3} = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = 4.$

Ответ: б) $4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18