ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: четырёхугольник $KLMN$ с прямым углом $N$ и углами $120^{\circ }$ при вершинах $K$ и $L$, вписанная окружность с центром $O$ касается стороны $MN$ в точке $A$. Четырёхугольник, в который вписана окружность, выпуклый.

а) Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон, поэтому лежит на биссектрисах углов четырёхугольника. Значит, $LO$ — биссектриса угла $KLM$:

$$\angle MLO=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }$, поэтому

$$\angle LMN=360^{\circ }-\angle MNK-\angle NKL-\angle KLM=360^{\circ }-90^{\circ }-120^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }.$$

Лучи $LO$ и $MN$ лежат по одну сторону от прямой $LM$ и образуют с отрезком $LM$ углы $60^{\circ }$ и $30^{\circ }$. Их сумма меньше $180^{\circ }$, поэтому лучи пересекаются в некоторой точке $A^{\prime }$. По сумме углов треугольника $LM{A}^{\prime }$

$$\angle L{A}^{\prime }M=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ },$$

то есть прямая $LO$ перпендикулярна прямой $MN$.

С другой стороны, радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $MN$. Через точку $O$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $MN$. Прямые $LO$ и $OA$ обе проходят через $O$ перпендикулярно $MN$, значит, они совпадают. Следовательно, точка $A$ лежит на прямой $LO$ (и $A^{\prime }=A$), что и требовалось доказать.

б) По пункту а) треугольник $LAM$ прямоугольный с прямым углом $A$ и углом $30^{\circ }$ при вершине $M$. Катет $LA$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$LM=2LA=2\sqrt{3}.$$

По теореме Пифагора

$$MA=\sqrt{L{M}^2-L{A}^2}=\sqrt{12-3}=3.$$

Пусть $r$ — радиус окружности, тогда $OA=r$. Центр $O$ лежит внутри четырёхугольника на отрезке $LA$, поэтому $LO=LA-OA=\sqrt{3}-r$.

Центр вписанной окружности лежит и на биссектрисе угла $M$, то есть $MO$ — биссектриса треугольника $LMA$. По свойству биссектрисы она делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{LO}{OA}=\frac{ML}{MA}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}-r}{r}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Решим уравнение:

$$3\sqrt{3}-3r=2\sqrt{3}r\Rightarrow r=\frac{3\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}(2\sqrt{3}-3)}{(2\sqrt{3}{)}^2-3^2}=\frac{18-9\sqrt{3}}{3}=6-3\sqrt{3}.$$

Пусть окружность касается стороны $NK$ в точке $B$. В четырёхугольнике $OANB$ углы $A$ и $B$ прямые (радиусы в точки касания), угол $N$ тоже прямой, поэтому $OANB$ — прямоугольник. Его соседние стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, значит, это квадрат, и

$$AN=OA=6-3\sqrt{3}.$$

Точка касания $A$ лежит на стороне $MN$, поэтому

$$MN=MA+AN=3+6-3\sqrt{3}=9-3\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $9-3\sqrt{3}$.