ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Окружности касаются внутренним образом в точке $C$, поэтому меньшая окружность лежит внутри большей. Точка $A$ лежит на меньшей окружности, точка $B$ — на большей, $CA=CB$ и $\angle ACB=90^{\circ }$. Луч $CA$ сначала пересекает меньшую окружность (в точке $A$), а затем большую (в точке $E$), поэтому $A$ лежит на отрезке $CE$. По той же причине точка $D$ лежит на отрезке $CB$.

а) У окружностей, касающихся в точке $C$, в этой точке есть общая касательная. Проведём её и отметим на ней точку $K$ по ту же сторону от прямой $CE$, что и точка $B$.

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой: этот угол равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключённую внутри угла.

Для большей окружности $CK$ — касательная, $CB$ — хорда, а вписанный угол $CEB$ опирается на дугу $CB$, лежащую внутри угла $BCK$. Поэтому

$$\angle BCK=\angle CEB.$$

Для меньшей окружности $CK$ — тоже касательная, $CD$ — хорда, а вписанный угол $CAD$ опирается на дугу $CD$ внутри угла $DCK$. Поэтому

$$\angle DCK=\angle CAD.$$

Точка $D$ лежит на луче $CB$, значит, $\angle DCK=\angle BCK$. Отсюда

$$\angle CAD=\angle DCK=\angle BCK=\angle CEB.$$

Углы $CAD$ и $CEB$ — соответственные при прямых $AD$ и $BE$ и секущей $CE$: точки $A$ и $E$ лежат на одном луче $CE$, а точки $D$ и $B$ — по одну сторону от прямой $CE$. Соответственные углы равны, поэтому по признаку параллельности прямых $AD\parallel BE$, что и требовалось доказать.

б) Угол $ACD$ равен углу $ACB$, то есть $90^{\circ }$, так как $D$ лежит на луче $CB$. Это вписанный в меньшую окружность угол, опирающийся на хорду $AD$. Прямой вписанный угол опирается на диаметр, поэтому $AD$ — диаметр меньшей окружности:

$$AD=2\cdot 2,5=5.$$

Аналогично угол $ECB$ равен $90^{\circ }$ (точка $E$ лежит на луче $CA$) и вписан в большую окружность, поэтому $BE$ — её диаметр:

$$BE=2\cdot 6=12.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $DCA$ и $BCE$. В них $\angle DCA=\angle BCE=90^{\circ }$, а по пункту а) $\angle CAD=\angle CEB$. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершина $C$ соответствует $C$, вершина $A$ — вершине $E$, вершина $D$ — вершине $B$. Соответственные стороны пропорциональны:

$$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CE}=\frac{AD}{BE}=\frac{5}{12}.$$

Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому обозначим $AC=BC=x$. Тогда

$$CD=\frac{5}{12}CB=\frac{5x}{12}.$$

В прямоугольном треугольнике $ACD$ гипотенуза $AD=5$. По теореме Пифагора

$$A{C}^2+C{D}^2=A{D}^2\Rightarrow x^2+\frac{25x^2}{144}=25\Rightarrow \frac{169x^2}{144}=25.$$

Отсюда

$$x^2=\frac{25\cdot 144}{169},x=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}.$$

Ответ: б) $\frac{60}{13}$.