ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр окружности. Окружность касается одной стороны прямого угла $D$ в точке $E$ и пересекает другую сторону в точках $A$ и $B$, причём $A$ лежит между $D$ и $B$; $AC$ — диаметр.

а) Угол $ABC$ вписан и опирается на диаметр $AC$, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$, то есть $BC\perp BD$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OE\perp DE$. Сторона $DB$ тоже перпендикулярна $DE$ (угол $D$ прямой), поэтому $OE\parallel DB$.

Пусть прямая $EO$ пересекает прямую $BC$ в точке $F$. В четырёхугольнике $EDBF$ углы при вершинах $E$, $D$ и $B$ прямые, поэтому $EDBF$ — прямоугольник. Значит, $\angle BFE=90^{\circ }$ и $BF=DE$.

Получаем, что $OF\perp BC$. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, поэтому $F$ — середина хорды $BC$, и

$$DE=BF=\frac{1}{2}BC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, поэтому расстояние от $E$ до прямой $AC$ — это высота треугольника $AOE$, проведённая из вершины $E$ к прямой $AO$.

Треугольник $AOE$ равнобедренный: $OA=OE$ как радиусы. Запишем его площадь двумя способами — через высоту $h_E$ к стороне $OA$ и через высоту $h_A$ к стороне $OE$:

$$S_{AOE}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot h_E=\frac{1}{2}\cdot OE\cdot h_A.$$

Так как $OA=OE$, получаем $h_E=h_A$: искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $OE$.

Точка $A$ лежит на прямой $DB$, а она параллельна $OE$. Поэтому расстояние от $A$ до прямой $OE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $DB$ и $OE$, то есть длине их общего перпендикуляра $DE$.

$DE$ — отрезок касательной, а $DAB$ — секущая, проведённые из точки $D$. По теореме о касательной и секущей

$$D{E}^2=DA\cdot DB=2\cdot (2+6)=16,DE=4.$$

Значит, расстояние от точки $E$ до прямой $AC$ равно $4$.

Ответ: б) $4$.