ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Обозначим $\angle CAD=\phi$, тогда по условию $\angle BAC=2\phi$.

а) Луч $AL$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому

$$\angle BAL=\angle LAC=\phi .$$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD\parallel BC$, и $\angle BCA=\angle CAD=\phi$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AC$.

Рассмотрим треугольники $BAL$ и $BCA$. Угол $B$ у них общий (точка $L$ лежит на стороне $BC$), а $\angle BAL=\angle BCA=\phi$. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём соответствуют вершины $B\leftrightarrow B$, $A\leftrightarrow C$, $L\leftrightarrow A$. Запишем отношение соответственных сторон:

$$\frac{AL}{CA}=\frac{BA}{BC},AL\cdot BC=AB\cdot AC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — середина $AC$, тогда $AO=CO=5$.

В треугольнике $ALC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle LAC=\angle LCA=\phi$. Значит, он равнобедренный ($LA=LC$), и его медиана $LO$ является высотой: $LO\perp AC$.

По условию $AE=CE$, поэтому треугольник $AEC$ тоже равнобедренный, и $EO\perp AC$. Через точку $O$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $AC$, поэтому точки $L$, $O$, $E$ лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к $AC$.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$, то есть с той же стороны от диагонали $AC$, что и $B$, а точка $E$ — на продолжении стороны $CD$, то есть с той же стороны, что и $D$. Вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от $AC$, поэтому $O$ лежит между $L$ и $E$, и

$$EL=EO+OL.$$

В прямоугольном треугольнике $AOL$

$$OL=AO\cdot \mathrm{tg}\angle LAO=5\mathrm{tg}\phi =5\cdot \frac{1}{5}=1,$$

так как $\mathrm{tg}\phi =\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{5}$.

Точка $E$ лежит на луче $CD$, поэтому $\angle ACE=\angle ACD$. Так как $AB\parallel CD$, $\angle ACD=\angle CAB=2\phi$ как накрест лежащие. По формуле тангенса двойного угла

$$\mathrm{tg}2\phi =\frac{2\mathrm{tg}\phi }{1-{\mathrm{tg}}^2\phi }=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}}=\frac{5}{12}.$$

В прямоугольном треугольнике $COE$

$$EO=CO\cdot \mathrm{tg}\angle OCE=5\cdot \frac{5}{12}=\frac{25}{12}.$$

Тогда

$$EL=EO+OL=\frac{25}{12}+1=\frac{37}{12}.$$

Ответ: б) $\frac{37}{12}$.