ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр описанной окружности, $R$ — её радиус.

а) Точка $K$ лежит на прямой $BH$, а $BH\perp AC$, поэтому $BK\perp AC$.

Сначала убедимся, что точки $K$ и $N$ различны. Если бы $K$ совпала с $N$, то $BK$ было бы диаметром, и прямая $BH$ проходила бы через центр $O$. Прямая, проходящая через центр перпендикулярно хорде $AC$, делит эту хорду пополам, поэтому $H$ было бы серединой $AC$. Тогда $BH$ — высота и медиана, и $BA=BC$, что противоречит условию: все стороны треугольника различны.

Угол $BKN$ вписан в окружность и опирается на диаметр $BN$, поэтому $\angle BKN=90^{\circ }$, то есть $KN\perp BK$.

Прямые $AC$ и $KN$ перпендикулярны одной и той же прямой $BK$, значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.

б) Так как $KN\parallel AC$, все точки прямой $KN$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $AC$. Поэтому расстояние от $N$ до $AC$ равно расстоянию от $K$ до $AC$, то есть длине отрезка $KH$ (так как $KH\perp AC$).

По сумме углов треугольника

$$\angle ACB=180^{\circ }-105^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ }.$$

Углы $A$ и $C$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на стороне $AC$. Из прямоугольного треугольника $BHC$

$$\angle HBC=90^{\circ }-\angle BCH=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$$

Точка $K$ лежит на продолжении $BH$ за точку $H$, поэтому $\angle KBC=\angle HBC=45^{\circ }$.

Треугольник $BKC$ вписан в ту же окружность. По теореме синусов

$$\frac{KC}{\sin \angle KBC}=2R,KC=2\cdot 20\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{12}=40\sqrt{3}.$$

Хорды $BK$ и $AC$ пересекаются в точке $H$, поэтому точки $A$ и $K$ лежат на одной дуге $BC$. Вписанные углы $BKC$ и $BAC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, значит,

$$\angle BKC=\angle BAC=30^{\circ }.$$

Точка $H$ лежит на отрезке $BK$, поэтому в прямоугольном треугольнике $KHC$ угол $HKC$ равен $30^{\circ }$, и

$$KH=KC\cdot \cos 30^{\circ }=40\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60.$$

Ответ: б) $60$.