ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Основания трапеции — $BC$ и $AD$, $BC\parallel AD$. Пусть прямая $AE$ пересекает прямую $BC$ в точке $F$.

а) Рассмотрим треугольники $ECF$ и $EDA$:

• $CE=ED$, так как $E$ — середина $CD$;
• $\angle CEF=\angle DEA$ как вертикальные;
• $\angle ECF=\angle EDA$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $CD$.

Значит, треугольники $ECF$ и $EDA$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$EF=EA,CF=AD.$$

Точка $F$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$. В треугольнике $ABF$ точка $E$ — середина стороны $AF$, поэтому $BE$ — медиана. Отрезок $CK$ соединяет точки сторон $BF$ и $BA$ и параллелен $AF$.

Так как $KO\parallel AE$, треугольники $BKO$ и $BAE$ подобны, и $\frac{KO}{AE}=\frac{BO}{BE}$. Так как $CO\parallel FE$, треугольники $BCO$ и $BFE$ подобны, и $\frac{CO}{FE}=\frac{BO}{BE}$. Значит,

$$\frac{KO}{AE}=\frac{CO}{FE}.$$

Но $AE=FE$, поэтому $KO=CO$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $BC=a$, $AD=b$. Из пункта а) $CF=AD=b$, поэтому

$$BF=BC+CF=a+b.$$

Сравним площади трапеции и треугольника $ABF$. Трапеция $ABCD$ состоит из четырёхугольника $ABCE$ и треугольника $EDA$, а треугольник $ABF$ — из того же четырёхугольника $ABCE$ и треугольника $ECF$. Треугольники $EDA$ и $ECF$ равны, поэтому

$$S_{ABCD}=S_{ABF}.$$

Треугольники $BCK$ и $BFA$ подобны, так как $CK\parallel FA$ (угол $B$ общий, соответственные углы при параллельных прямых равны). Коэффициент подобия

$$k=\frac{BC}{BF}=\frac{a}{a+b}.$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{BCK}}{S_{BFA}}=k^2=\frac{9}{100},\frac{a}{a+b}=\frac{3}{10}.$$

Отсюда $10a=3a+3b$, $7a=3b$, то есть

$$\frac{BC}{AD}=\frac{a}{b}=\frac{3}{7}.$$

Ответ: б) $BC:AD=3:7$.