Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM=MN=NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб средняя 2025 развёрнутое

Дан ромб $A B C D .$ На диагонали $A C$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $A M = M N = N C .$ Прямая $B M$ пересекает сторону $A D$ в точке $P,$ а прямая $B N$ пересекает сторону $C D$ в точке $Q .$

а) Докажите, что площадь четырехугольника $B P D Q$ равна площади треугольника $A D C .$

б) Найдите $B D,$ если известно, что $A C = 45$ и около пятиугольника $M N Q D P$ можно описать окружность.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Противоположные стороны ромба параллельны: $A B ∥ D C$ , $A D ∥ B C$ . Точки $M$ и $N$ делят диагональ на три равные части, поэтому

$A N = A M + M N = \frac{2}{3} A C, N C = \frac{1}{3} A C, A M = \frac{1}{3} A C, M C = \frac{2}{3} A C .$

Треугольники $A B N$ и $C QN$ подобны по двум углам: $∠ N A B = ∠ N C Q$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $D C$ и секущей $A C$ , а $∠ A N B = ∠ C N Q$ как вертикальные. Отсюда

$\frac{QC}{A B} = \frac{N C}{N A} = \frac{1}{2}, QC = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C,$

то есть $Q$ — середина $D C$ .

Аналогично треугольники $A P M$ и $C B M$ подобны: $∠ M A P = ∠ M C B$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A D$ , $B C$ и секущей $A C$ , $∠ A M P = ∠ C M B$ как вертикальные. Отсюда

$\frac{A P}{C B} = \frac{A M}{M C} = \frac{1}{2}, A P = \frac{1}{2} C B = \frac{1}{2} A D,$

то есть $P$ — середина $A D$ .

Проведём диагональ $B D$ и обозначим площадь ромба через $S$ . Каждая диагональ делит ромб на два равных треугольника, поэтому

$S_{A B D} = S_{C B D} = \frac{S}{2}, S_{A D C} = \frac{S}{2} .$

Медиана делит треугольник на два равновеликих. В треугольнике $A B D$ отрезок $B P$ — медиана, поэтому $S_{B P D} = \frac{1}{2} S_{A B D} = \frac{S}{4}$ . В треугольнике $C B D$ отрезок $B Q$ — медиана, поэтому $S_{B Q D} = \frac{1}{2} S_{C B D} = \frac{S}{4}$ .

Четырёхугольник $B P D Q$ состоит из треугольников $B P D$ и $B Q D$ , лежащих по разные стороны от $B D$ :

$S_{B P D Q} = S_{B P D} + S_{B Q D} = \frac{S}{4} + \frac{S}{4} = \frac{S}{2} = S_{A D C} .$

Что и требовалось доказать.

б) Проведём отрезки $D N$ и $D M$ . Точка $P$ — середина $A D$ , а $M$ — середина $A N$ (так как $A M = M N$ ), поэтому $P M$ — средняя линия треугольника $A D N$ :

$P M ∥ D N, P M = \frac{1}{2} D N .$

Значит, $P M N D$ — трапеция с основаниями $P M$ и $D N$ (основания не равны). Её вершины лежат на окружности, описанной около пятиугольника $M N Q D P$ , а трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная. Поэтому её боковые стороны равны:

$P D = M N = \frac{1}{3} A C = \frac{4 5}{3} .$

Тогда сторона ромба

$A D = 2 P D = \frac{8 5}{3} .$

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны, поэтому $A O = \frac{1}{2} A C = 25$ , и по теореме Пифагора в треугольнике $A O D$

$D O^{2} = A D^{2} - A O^{2} = \frac{64 \cdot 5}{9} - 20 = \frac{140}{9}, D O = \frac{2 35}{3} .$

Следовательно,

$B D = 2 D O = \frac{4 35}{3} .$

Убедимся, что такой ромб действительно подходит. Окружность, проходящая через $M$ , $N$ и $D$ , имеет центр на прямой $B D$ (серединном перпендикуляре к $M N$ ). При найденном $B D$ трапеция $P M N D$ равнобедренная, значит, вписанная, и точка $P$ лежит на этой окружности. Ромб симметричен относительно $B D$ , при симметрии $P$ переходит в $Q$ , поэтому и $Q$ лежит на ней.

Ответ: б) $\frac{4 35}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18