ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Точка $H$ лежит на отрезке $BM$, то есть на стороне $BC$, поэтому $\angle ACH=\angle ACB=30^{\circ }$.

а) В прямоугольном треугольнике $AHC$ угол $C$ равен $30^{\circ }$, поэтому $\angle HAC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. Луч $AM$ — биссектриса этого угла:

$$\angle HAM=\angle MAC=30^{\circ }.$$

В треугольнике $AMC$ углы при вершинах $A$ и $C$ равны $30^{\circ }$, оба острые, поэтому высота $MQ$ падает на сторону $AC$. Пусть $MQ=x$. В прямоугольном треугольнике $MQC$ катет $MQ$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому

$$MC=2MQ=2x.$$

Прямоугольные треугольники $HAM$ и $QAM$ равны по гипотенузе и острому углу: гипотенуза $AM$ общая, $\angle HAM=\angle QAM=30^{\circ }$. Значит, $HM=QM=x$.

$AM$ — медиана, поэтому $BM=MC=2x$, и

$$BH=BM-HM=2x-x=x=HM.$$

В треугольнике $ABM$ отрезок $AH$ — высота и медиана, значит, треугольник равнобедренный ($AB=AM$), и $AH$ — также его биссектриса: $\angle BAH=\angle HAM=30^{\circ }$.

Лучи $AB$, $AH$, $AM$, $AC$ идут именно в таком порядке (точка $H$ лежит между $B$ и $M$), поэтому

$$\angle BAC=\angle BAH+\angle HAM+\angle MAC=30^{\circ }+30^{\circ }+30^{\circ }=90^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно рассуждать и короче: в треугольнике $AMC$ углы при вершинах $A$ и $C$ равны, поэтому $AM=MC=MB$. Медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, а это значит, что угол $BAC$ прямой.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому $BC=2AB=12$. Из пункта а) $BC=BH+HM+MC=x+x+2x=4x$, значит, $x=3$:

$$BH=HM=MQ=3,MC=6.$$

Точка $F$ лежит на прямой $AH$, перпендикулярной $BC$, поэтому $FH$ — высота треугольника $CFM$, проведённая к стороне $MC$:

$$S_{CFM}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot FH.$$

Точка $F$ лежит на продолжении $QM$ за точку $M$, а $H$ — на продолжении $CM$ за точку $M$, поэтому углы $HMF$ и $QMC$ вертикальные и равны. Прямоугольные треугольники $HMF$ и $QMC$ ($\angle MHF=\angle MQC=90^{\circ }$) равны по катету и прилежащему острому углу: $HM=QM=3$, $\angle HMF=\angle QMC$. Отсюда

$$MF=MC=6.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $FHM$

$$FH=\sqrt{M{F}^2-H{M}^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}.$$

Тогда

$$S_{CFM}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $9\sqrt{3}$.