ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба, $E$ — точка пересечения данной прямой со стороной $AD$, $BH$ — высота ромба, опущенная на $AD$. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам и перпендикулярны.

Выясним, где лежат точки $M$ и $N$. Разделим $AC$ на $14$ равных частей: $AM=5$ частей, $MC=9$ частей, $AO=7$ частей. Значит, $M$ лежит на отрезке $AO$ и

$$AM:MO=5:2.$$

Разделим $BD$ на $12$ равных частей: $BN=2$, $ND=10$, $BO=OD=6$ частей. Значит, $N$ лежит на отрезке $BO$, $ON=4$ части, и

$$ON:ND=4:10=2:5.$$

а) Прямая $MN$ пересекает прямые, содержащие стороны треугольника $AOD$, в точках $M$ (на стороне $AO$), $N$ (на продолжении стороны $DO$ за точку $O$) и $E$ (на стороне $AD$). По теореме Менелая

$$\frac{AM}{MO}\cdot \frac{ON}{ND}\cdot \frac{DE}{EA}=1,\frac{5}{2}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{DE}{EA}=1,DE=EA.$$

Итак, $E$ — середина стороны $AD$. Пусть сторона ромба равна $10c$, тогда $AE=ED=5c$.

Прямые $NE$ и $BH$ перпендикулярны $AD$, поэтому параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках для угла $BDA$ (треугольники $DNE$ и $DBH$ подобны)

$$\frac{DE}{DH}=\frac{DN}{DB}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6},DH=\frac{6}{5}DE=6c.$$

Так как $DH=6c<10c=DA$, точка $H$ лежит на стороне $AD$, и $AH=AD-DH=4c$. Из прямоугольного треугольника $ABH$

$$\cos \angle BAD=\frac{AH}{AB}=\frac{4c}{10c}=\frac{2}{5}.$$

Угол ромба лежит между $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$, поэтому его синус положителен, и по основному тригонометрическому тождеству

$$\sin \angle BAD=\sqrt{1-\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому $\angle OAD=\frac{1}{2}\angle BAD$.

Прямоугольные треугольники $AOD$ и $NED$ ($\angle AOD=90^{\circ }$, так как диагонали перпендикулярны, и $\angle NED=90^{\circ }$) имеют общий угол $D$, поэтому подобны, и

$$\angle END=\angle OAD=\frac{1}{2}\angle BAD.$$

Рассмотрим треугольник $MON$: угол $O$ прямой (точки $M$ и $N$ лежат на перпендикулярных диагоналях). Точка $M$ лежит между $N$ и $E$, а точка $O$ — между $N$ и $D$, поэтому $\angle MNO=\angle END=\frac{1}{2}\angle BAD$.

Найдём синус половинного угла по формуле понижения степени:

$$\sin \frac{\angle BAD}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \angle BAD}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{2}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.$$

В прямоугольном треугольнике $MON$ катет $MO$ лежит против угла $N$, а $MN$ — гипотенуза:

$$MO=MN\cdot \sin \angle MNO=\frac{10}{7}\cdot \frac{\sqrt{30}}{10}=\frac{\sqrt{30}}{7}.$$

Отрезок $MO$ составляет $2$ части из $14$ частей диагонали $AC$, то есть $AC=7MO$. Тогда

$$AC=7\cdot \frac{\sqrt{30}}{7}=\sqrt{30}.$$

Ответ: б) $\sqrt{30}$.