ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Вершины четырёхугольника идут по окружности в порядке $A$, $B$, $C$, $D$. Дуги $\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}$, $\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}$, $\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$, $\stackrel{⌣}{\mathrm{DA}}$ между соседними вершинами (не содержащие других вершин) в сумме составляют $360^{\circ }$.

а) Проведём диагональ $AC$. Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}$, а вписанный угол $CAD$ — на дугу $\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$, поэтому

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}},\angle CAD=\frac{1}{2}\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}.$$

По теореме синусов хорда окружности равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, опирающегося на неё. Для треугольников $ABC$ и $ACD$, вписанных в данную окружность, получаем

$$\sin \angle ACB=\frac{AB}{2R}=\frac{20}{32}=\frac{5}{8},\sin \angle CAD=\frac{CD}{2R}=\frac{20}{32}=\frac{5}{8}.$$

Если у двух углов, меньших $180^{\circ }$, синусы равны, то эти углы либо равны, либо в сумме дают $180^{\circ }$. Второе невозможно: дуги $\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}$ и $\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$ не перекрываются, их сумма меньше $360^{\circ }$, поэтому

$$\angle ACB+\angle CAD=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}\right)<180^{\circ }.$$

Значит, $\angle ACB=\angle CAD$; обозначим этот угол $\alpha$. Так как $2\alpha <180^{\circ }$, угол $\alpha$ острый.

Углы $ACB$ и $CAD$ — накрест лежащие при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$ (точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от $AC$). Они равны, поэтому $BC\parallel AD$. Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $\sin \alpha =\frac{5}{8}$, угол $\alpha$ острый, поэтому

$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{25}{64}}=\frac{\sqrt{39}}{8}.$$

Найдём диагональ $AC$ из треугольника $ABC$, в котором $AB=20$, $BC=7$ и $\angle ACB=\alpha$. По теореме косинусов

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \alpha ,400=A{C}^2+49-2\cdot 7\cdot AC\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}.$$

Получаем квадратное уравнение относительно $AC$:

$$A{C}^2-\frac{7\sqrt{39}}{4}AC-351=0.$$

Его дискриминант

$$D={\left(\frac{7\sqrt{39}}{4}\right)}^2+4\cdot 351=\frac{1911}{16}+\frac{22464}{16}=\frac{24375}{16}={\left(\frac{25\sqrt{39}}{4}\right)}^2.$$

Корни: $AC=\frac{1}{2}\left(\frac{7\sqrt{39}}{4}\pm \frac{25\sqrt{39}}{4}\right)$, то есть $4\sqrt{39}$ и $-\frac{9\sqrt{39}}{4}$. Длина положительна, поэтому $AC=4\sqrt{39}$.

Опустим перпендикуляр $CH$ на прямую $AD$. Угол $CAD=\alpha$ острый, поэтому $H$ лежит на луче $AD$. Из прямоугольного треугольника $ACH$

$$CH=AC\cdot \sin \alpha =4\sqrt{39}\cdot \frac{5}{8}=\frac{5\sqrt{39}}{2},AH=AC\cdot \cos \alpha =4\sqrt{39}\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}=\frac{39}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $CHD$ по теореме Пифагора

$$HD=\sqrt{C{D}^2-C{H}^2}=\sqrt{400-\frac{975}{4}}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}.$$

Точка $D$ лежит на луче $AH$ на расстоянии $\frac{25}{2}$ от $H$, поэтому возможны два значения:

$$AD=AH+HD=\frac{39}{2}+\frac{25}{2}=32\text{или}AD=AH-HD=\frac{39}{2}-\frac{25}{2}=7.$$

Исключим второй случай. Если $AD=7=BC$, то в четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны, то есть $ABCD$ — параллелограмм. Противоположные углы параллелограмма равны, а у вписанного четырёхугольника они в сумме дают $180^{\circ }$, значит, все углы прямые, и $ABCD$ — прямоугольник. Но тогда по теореме Пифагора $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=400+49=449$, а мы нашли $A{C}^2=624$. Противоречие.

Итак, $AD=32$. Заметим, что $AD=2R$, то есть $AD$ — диаметр окружности. Это согласуется с остальными данными: $A{C}^2+C{D}^2=624+400=1024=32^2$, значит, угол $ACD$ прямой и опирается на диаметр $AD$.

Ответ: б) $32$.