В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники сложная 2026 развёрнутое

В прямоугольном треугольнике $A B C$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $A B$ и катета $B C$ соответственно. Биссектриса угла $B A C$ пересекает прямую $M N$ в точке $L .$

a) Докажите, что треугольники $A M L$ и $B L C$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $cos ∠ B A C = \frac{1}{9} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Гипотенуза треугольника — $A B$ , поэтому прямой угол — $C$ . Пусть $∠ B A L = ∠ L A C = α$ , тогда $∠ B A C = 2 α$ .

а) Точки $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $B C$ , поэтому $M N$ — средняя линия треугольника $A B C$ : $M N ∥ A C$ и $M N = \frac{A C}{2}$ .

Углы $M L A$ и $L A C$ — накрест лежащие при параллельных прямых $M L$ , $A C$ и секущей $A L$ , поэтому $∠ M L A = ∠ L A C = α = ∠ M A L$ . Значит, треугольник $A M L$ равнобедренный, и

$M L = A M = M B = \frac{A B}{2} .$

Так как $M L = \frac{A B}{2} > \frac{A C}{2} = M N$ (гипотенуза больше катета), точка $L$ лежит на продолжении отрезка $M N$ за точку $N$ , то есть по другую сторону от прямой $B C$ , чем точка $A$ .

В треугольнике $A B L$ медиана $L M$ равна половине стороны $A B$ : точки $A$ , $B$ , $L$ лежат на окружности с центром $M$ и диаметром $A B$ . Поэтому угол $A L B$ , опирающийся на диаметр, прямой:

$∠ A L B = 9 0^{\circ} .$

Пусть биссектриса $A L$ пересекает сторону $B C$ в точке $H$ (она лежит между $A$ и $L$ ). Треугольники $A C H$ и $B L H$ имеют по прямому углу ( $∠ A C H = ∠ B L H = 9 0^{\circ}$ ) и равные вертикальные углы $∠ A H C = ∠ B H L$ . Значит, и третьи углы равны:

$∠ L B C = ∠ H B L = ∠ H A C = α .$

Прямая $M L$ параллельна $A C$ , а $A C ⊥ B C$ , поэтому $L N ⊥ B C$ . В треугольнике $B L C$ отрезок $L N$ — высота и медиана ( $N$ — середина $B C$ ), значит, треугольник $B L C$ равнобедренный: $L B = L C$ и

$∠ L C B = ∠ L B C = α .$

Итак, в треугольнике $A M L$ углы при вершинах $A$ и $L$ равны $α$ , и в треугольнике $B L C$ углы при вершинах $B$ и $C$ равны $α$ . Треугольники $A M L$ и $B L C$ подобны по двум углам, причём соответствуют вершины $A \leftrightarrow B$ , $M \leftrightarrow L$ , $L \leftrightarrow C$ . Что и требовалось доказать.

б) По условию $cos ∠ B A C = cos 2 α = \frac{1}{9}$ . По формуле косинуса двойного угла

$cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α, 1 - 2 sin^{2} α = \frac{1}{9}, sin^{2} α = \frac{4}{9} .$

Угол $α$ острый, поэтому $sin α = \frac{2}{3}$ .

В прямоугольном треугольнике $A B L$ катет $B L$ лежит против угла $B A L = α$ :

$B L = A B \cdot sin α = \frac{2}{3} A B = \frac{2}{3} \cdot 2 A M = \frac{4}{3} A M .$

Стороне $A M$ треугольника $A M L$ соответствует сторона $B L$ треугольника $B L C$ , поэтому коэффициент подобия равен

$k = \frac{A M}{B L} = \frac{3}{4} .$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{A M L}}{S _{B L C}} = k^{2} = \frac{9}{16} .$

Ответ: б) $\frac{9}{16}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18