ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Вершины пятиугольника идут по окружности в порядке $A$, $B$, $C$, $D$, $E$.

а) Равные хорды стягивают равные дуги. Так как $AB=CD$, дуги $\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}$ и $\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$ (не содержащие других вершин) равны. Вписанные углы $ACB$ и $CAD$ опираются на эти дуги, поэтому

$$\angle ACB=\angle CAD.$$

Это накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$ (точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от $AC$), значит, $BC\parallel AD$.

Аналогично $BC=DE$, поэтому равны дуги $\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}$ и $\stackrel{⌣}{\mathrm{DE}}$ и опирающиеся на них вписанные углы:

$$\angle BEC=\angle DCE.$$

Это накрест лежащие углы при прямых $CD$, $BE$ и секущей $CE$, значит, $CD\parallel BE$.

Диагонали $AD$ и $BE$ выпуклого четырёхугольника $ABDE$ пересекаются; обозначим точку их пересечения $M$. В четырёхугольнике $BCDM$ стороны $BC$ и $MD$ параллельны (так как $M$ лежит на $AD$), стороны $CD$ и $BM$ тоже параллельны (так как $M$ лежит на $BE$). Значит, $BCDM$ — параллелограмм, и

$$MD=BC=8,BM=CD=5.$$

В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны, причём $AD=AM+MD>MD=BC$, то есть $ABCD$ — трапеция. Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, а диагонали равнобедренной трапеции равны:

$$AC=BD.$$

В четырёхугольнике $BCDE$ стороны $CD$ и $BE$ параллельны, причём $BE=BM+ME>BM=CD$, то есть $BCDE$ — тоже вписанная, а значит, равнобедренная трапеция. Её диагонали равны:

$$BD=CE.$$

Следовательно, $AC=BD=CE$. Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $MD=8$, поэтому

$$AM=AD-MD=10-8=2.$$

Хорды $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. По теореме о пересекающихся хордах

$$AM\cdot MD=BM\cdot ME,2\cdot 8=5\cdot ME,ME=\frac{16}{5}.$$

Значит,

$$BE=BM+ME=5+\frac{16}{5}=\frac{41}{5}=8,2.$$

Ответ: б) $8,2$.