Биссектрисы углов и равнобедренной трапеции пересекаются в точке . Через точку провели прямую, параллельную основаниям и , и пересекающую боковые стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите длину основания , если , и данная прямая делит сторону в отношении .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Прямая параллельна , поэтому как накрест лежащие при параллельных прямых , и секущей . Луч — биссектриса угла , поэтому . Получаем , значит, треугольник равнобедренный и
Аналогично , поэтому как накрест лежащие при прямых , и секущей , а , так как — биссектриса угла . Значит, треугольник равнобедренный и
Параллельные прямые , и отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (обобщённая теорема Фалеса), поэтому . Так как трапеция равнобедренная, , и отсюда
Тогда
Что и требовалось доказать.
б) Обозначим , . Углы при основании равнобедренной трапеции равны, , а сумма односторонних углов и равна . Поэтому
По условию ; пусть , . По пункту а)
Опустим перпендикуляры и на основание , и пусть пересекает в точке . Так как , отрезок перпендикулярен , а — прямоугольник.
Найдём угол . Прямая перпендикулярна , а значит, и , поэтому и
Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу: по условию и . Из равенства треугольников
Прямые и параллельны, поэтому по теореме Фалеса для угла
Пусть , . Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому , и тогда
Найдём . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны , поэтому
В прямоугольном треугольнике катет лежит против угла при вершине :
По формуле тангенса двойного угла
В прямоугольном треугольнике угол при вершине равен , поэтому
Треугольники и подобны () с коэффициентом , поэтому
В равнобедренной трапеции основание высоты, опущенной из вершины , делит большее основание на отрезки, равные полусумме и полуразности оснований:
При этом . Получаем систему
Вычтем из первого уравнения второе:
Тогда
Проверка: и — совпадает.
Ответ: б) .