Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2021 развёрнутое

Дана трапеция $A B C D$ с большим основанием $A D,$ вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции $B H$ пересекает окружность в точке $K .$

а) Докажите, что отрезки $A C$ и $A K$ перпендикулярны.

б) Найдите $A D,$ если радиус описанной окружности равен 6, угол $B A C$ составляет $3 0^{\circ},$ отношение площадей $B C N H$ к $N K H$ равно 35, где $N$ — точка пересечения отрезков $A D$ и $C K .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Трапеция $A B C D$ вписана в окружность, $A D$ — большее основание, $B H$ — высота ( $H$ лежит на $A D$ ), её продолжение за точку $H$ пересекает окружность в точке $K$ ; $N$ — точка пересечения $A D$ и $C K$ .

а) Высота $B H$ перпендикулярна основаниям трапеции, а $B C ∥ A D$ , поэтому $B K ⊥ B C$ и $∠ K B C = 9 0^{\circ}$ .

Вписанный угол $K B C$ прямой, значит, он опирается на диаметр: $C K$ — диаметр окружности.

Угол $K A C$ тоже вписан и опирается на диаметр $C K$ , поэтому $∠ K A C = 9 0^{\circ}$ , то есть $A C ⊥ A K$ . Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $C K$ — диаметр, поэтому $C K = 2 \cdot 6 = 12$ .

Вписанные углы $B K C$ и $B A C$ опираются на одну и ту же дугу $B C$ (точки $A$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $B C$ ), поэтому

$∠ B K C = ∠ B A C = 3 0^{\circ} .$

В прямоугольном треугольнике $B K C$ ( $∠ B = 9 0^{\circ}$ ) катет $B C$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ :

$B C = \frac{C K}{2} = 6, B K = C K \cdot cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63 .$

Отрезок $H N$ делит треугольник $B K C$ на четырёхугольник $B C N H$ и треугольник $N K H$ , поэтому

$\frac{S _{B K C}}{S _{N K H}} = \frac{S _{B C N H} + S _{N K H}}{S _{N K H}} = 35 + 1 = 36.$

Треугольники $B K C$ и $H K N$ подобны по двум углам: $∠ K B C = ∠ K H N = 9 0^{\circ}$ (так как $B K ⊥ A D$ ), угол $K$ общий. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому коэффициент равен $36 = 6$ :

$\frac{B K}{H K} = 6, H K = \frac{6 3}{6} = 3, B H = B K - H K = 63 - 3 = 53 .$

Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная. Проведём вторую высоту $C L$ . Четырёхугольник $H B C L$ — прямоугольник, поэтому $H L = B C = 6$ . Прямоугольные треугольники $A B H$ и $D C L$ равны по гипотенузе и острому углу ( $A B = C D$ , $∠ B A H = ∠ C D L$ как углы при основании), значит, $A H = L D$ . Тогда

$A D = A H + H L + L D = 2 A H + B C, A H = \frac{A D - B C}{2},$

$H D = H L + L D = B C + \frac{A D - B C}{2} = \frac{A D + B C}{2} .$

Хорды $A D$ и $B K$ пересекаются в точке $H$ . По теореме о пересекающихся хордах произведения их отрезков равны:

$A H \cdot H D = B H \cdot H K .$

Подставим найденные величины:

$\frac{A D - 6}{2} \cdot \frac{A D + 6}{2} = 53 \cdot 3 = 15, A D^{2} - 36 = 60, A D^{2} = 96.$

Отсюда $A D = 96 = 46$ . Заметим, что $46 > 6 = B C$ , то есть $A D$ действительно большее основание.

Ответ: б) $46$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18