Две окружности касаются внутренним образом в точке Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке
a) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите если радиусы окружностей равны и 12.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Обозначим меньшую окружность (радиус ), а большую — (радиус ). Окружности касаются в точке , поэтому имеют в этой точке общую касательную, и при внутреннем касании обе лежат по одну сторону от неё.
Прямая пересекает обе окружности второй раз с той стороны от касательной, где лежат окружности, поэтому точки и лежат на одном луче с началом . По той же причине точки и лежат на одном луче с началом . Значит,
а) Проведём через общую касательную и отметим на ней точку по ту же сторону от прямой , что и точка .
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны. Для окружности и хорды это даёт
Для окружности и хорды получаем
Точка лежит на луче , поэтому . Следовательно,
Углы и — соответственные при прямых , и секущей (точки и лежат на одном луче , а точки и — по одну сторону от этой прямой). Соответственные углы равны, значит, . Что и требовалось доказать.
б) Угол прямой и вписан в окружность , поэтому он опирается на диаметр: — диаметр меньшей окружности. Аналогично прямой угол вписан в , и — диаметр большей окружности. Тогда
Прямоугольные треугольники и подобны: у них прямые углы при вершине и, по пункту а), . Соответствуют друг другу вершины , , , поэтому
Треугольник равнобедренный, пусть . Тогда
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора :
Итак, .
Ответ: б) .