ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр окружности (середина диаметра $AD$), а $K$ — середина стороны $AB$, через которую по условию проходит окружность.

а) Угол $AKD$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AD$, поэтому он прямой: $DK\perp AB$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $DK$ — медиана (так как $K$ — середина $AB$) и одновременно высота. Если медиана треугольника совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный, поэтому $DA=DB$, и треугольник $ABD$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

б) Точка $D$ — конец диаметра, то есть лежит на окружности, и одновременно лежит на прямой $CD$. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, значит, прямая $CD$ касается окружности именно в точке $D$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OD\perp CD$, то есть $AD\perp CD$ и $\angle ADC=90^{\circ }$. Так как $BC\parallel AD$, сумма односторонних углов $ADC$ и $BCD$ равна $180^{\circ }$, поэтому $\angle BCD=90^{\circ }$. Итак, $ABCD$ — прямоугольная трапеция, и $CD$ — её высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ с прямым углом $C$. Катет $BC$ лежит против угла $BDC$, равного $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$BD=2BC=2\cdot 8=16.$$

По пункту а) $AD=BD=16$. По теореме Пифагора в треугольнике $BCD$

$$CD=\sqrt{B{D}^2-B{C}^2}=\sqrt{16^2-8^2}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}.$$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CD=\frac{8+16}{2}\cdot 8\sqrt{3}=96\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $96\sqrt{3}$.