ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше основания $BC$, боковые стороны равны: $AB=CD$. Центр $O$ окружности — середина диаметра $AB$, радиус равен $r=\frac{AB}{2}$. Окружность касается стороны $CD$ в точке $P$ и вторично пересекает основание $AD$ в точке $N$; $M$ — середина $CD$.

Угол $ANB$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AB$, поэтому $\angle ANB=90^{\circ }$: точка $N$ — основание перпендикуляра, опущенного из $B$ на $AD$. Угол $BAD$ при большем основании равнобедренной трапеции острый, поэтому $N$ лежит на луче $AD$.

а) Отрезки $OA$ и $ON$ равны как радиусы:

$$ON=OA=\frac{AB}{2}.$$

Трапеция равнобедренная, поэтому $CD=AB$, и

$$MD=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=ON.$$

Треугольник $AON$ равнобедренный ($OA=ON$), поэтому углы при его основании равны: $\angle ONA=\angle OAN$. Так как $N$ лежит на луче $AD$, $\angle OAN=\angle BAD$. Углы при основании равнобедренной трапеции равны: $\angle BAD=\angle CDA$. Получаем

$$\angle ONA=\angle MDA.$$

Это соответственные углы при прямых $NO$, $DM$ и секущей $AD$ (точки $O$ и $M$ лежат по одну сторону от $AD$). Значит, $ON\parallel MD$.

Кроме того, $O$ и $M$ — середины боковых сторон трапеции, поэтому $OM$ — её средняя линия, и $OM\parallel AD$, то есть $OM\parallel ND$.

У четырёхугольника $OMDN$ противоположные стороны попарно параллельны: $ON\parallel MD$ и $OM\parallel ND$. Следовательно, $OMDN$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

б) Боковые стороны трапеции не параллельны. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $S$; так как $BC<AD$, точка $S$ лежит на продолжениях боковых сторон за точки $B$ и $C$.

В треугольнике $ASD$ углы при основании равны $75^{\circ }$ (это углы при основании равнобедренной трапеции). По сумме углов треугольника

$$\angle ASD=180^{\circ }-2\cdot 75^{\circ }=30^{\circ }.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OP\perp CD$. Рассмотрим треугольник $SPO$: угол $P$ прямой, а $\angle OSP=\angle ASD=30^{\circ }$ (точка $O$ лежит на луче $SA$, точка $P$ — на луче $SD$). Катет, лежащий против угла $30^{\circ }$, равен половине гипотенузы:

$$OP=\frac{SO}{2}.$$

Но $OP=r$ как радиус, поэтому $SO=2r$. Точка $B$ лежит между $S$ и $O$, и $BO=r$, значит,

$$SB=SO-BO=2r-r=r,SA=SB+BA=r+2r=3r.$$

Треугольники $SBC$ и $SAD$ подобны по двум углам: угол $S$ общий, а $\angle SBC=\angle SAD$ как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$. Отсюда

$$\frac{BC}{AD}=\frac{SB}{SA}=\frac{r}{3r}=\frac{1}{3},AD=3BC=3\cdot 4=12.$$

Проверим согласованность с пунктом а). Средняя линия трапеции $OM=\frac{AD+BC}{2}=8$, и в параллелограмме $OMDN$ сторона $ND=OM=8$, поэтому $AN=12-8=4=\frac{AD-BC}{2}$. Именно таким и должно быть расстояние от $A$ до основания высоты, опущенной из $B$ в равнобедренной трапеции, — всё сходится.

Ответ: б) $12$.