Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная развёрнутое

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$ , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $B C$ большей окружности касается меньшей в точке $P$ . Хорды $A B$ и $A C$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $K M$ и $B C$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $K M$ и $A P$ . Найдите длину отрезка $A L$ , если радиус большей окружности равен 34, а $B C = 32$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — центр большей окружности, $O_{1}$ — центр меньшей.

Две окружности, касающиеся в точке A, хорда BC

а) Окружности касаются в точке $A$ , поэтому их центры $O$ , $O_{1}$ и точка касания $A$ лежат на одной прямой. Точка $O$ лежит на меньшей окружности, значит, хорда $A O$ меньшей окружности проходит через её центр $O_{1}$ , то есть $A O$ — диаметр меньшей окружности. В частности, её радиус вдвое меньше радиуса большей.

Точка $K$ лежит на меньшей окружности, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $∠ A K O = 9 0^{\circ}$ , то есть $O K ⊥ A B$ . В большей окружности $O K$ — перпендикуляр из центра к хорде $A B$ , а такой перпендикуляр делит хорду пополам (треугольник $A O B$ равнобедренный, и его высота $O K$ является медианой). Значит, $K$ — середина $A B$ .

Точно так же $∠ A M O = 9 0^{\circ}$ , и $M$ — середина $A C$ . Тогда $K M$ — средняя линия треугольника $A B C$ , и $K M ∥ B C$ , что и требовалось доказать.

б) Прямая $K M$ проходит через середину $K$ стороны $A B$ параллельно $B C$ . В треугольнике $A B P$ (точка $P$ лежит на $B C$ ) прямая, проходящая через середину стороны $A B$ параллельно $B P$ , по теореме Фалеса делит сторону $A P$ пополам. Значит, $L$ — середина $A P$ и $A L = \frac{1}{2} A P$ .

Найдём $A P$ . Радиус большей окружности $R = 34$ , радиус меньшей $17$ . Пусть $F$ — середина хорды $B C$ ; тогда $O F ⊥ B C$ , $B F = 16$ , и по теореме Пифагора

$O F = O B^{2} - B F^{2} = 3 4^{2} - 1 6^{2} = 1156 - 256 = 30.$

Меньшая окружность касается $B C$ в точке $P$ , поэтому $O_{1} P ⊥ B C$ и $O_{1} P = 17$ . Окружность лежит по одну сторону от своей касательной, поэтому точки $A$ и $O$ лежат по ту же сторону от $B C$ , что и $O_{1}$ .

Пусть $A_{1}$ — проекция точки $A$ на $B C$ . Отрезки $A A_{1}$ , $O_{1} P$ и $O F$ перпендикулярны $B C$ , поэтому $A A_{1} F O$ — прямоугольная трапеция, а $O_{1} P$ — её средняя линия ( $O_{1}$ — середина $A O$ , и по теореме Фалеса $P$ — середина $A_{1} F$ ). Средняя линия равна полусумме оснований:

$O_{1} P = \frac{A A _{1} + O F}{2} \Rightarrow 17 = \frac{A A _{1} + 30}{2} \Rightarrow A A_{1} = 4.$

Боковая сторона $A O$ трапеции равна радиусу большей окружности, $34$ , а разность оснований равна $30 - 4 = 26$ . Опустив перпендикуляр из $A$ на $O F$ , по теореме Пифагора найдём

$A_{1} F = A O^{2} - (O F - A A_{1})^{2} = 3 4^{2} - 2 6^{2} = 1156 - 676 = 480 .$

Точка $P$ — середина $A_{1} F$ , поэтому $A_{1} P^{2} = \frac{480}{4} = 120$ . Из прямоугольного треугольника $A A_{1} P$

$A P = A A_{1}^{2} + A_{1} P^{2} = 16 + 120 = 136 = 234 .$

Проверим другим способом: $A O$ — диаметр меньшей окружности, поэтому $∠ A P O = 9 0^{\circ}$ и $A P^{2} = A O^{2} - O P^{2}$ , где $O P^{2} = O F^{2} + F P^{2} = 900 + 120 = 1020$ . Получаем $A P^{2} = 1156 - 1020 = 136$ — то же самое.

Тогда

$A L = \frac{A P}{2} = 34 .$

Ответ: б) $34$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18