ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Треугольник $ABN$ прямоугольный ($BN$ — высота), и $\angle BAN=60^{\circ }$. По сумме острых углов прямоугольного треугольника

$$\angle ABN=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Катет $AN$ лежит против угла в $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы: $AN=\frac{1}{2}AB$. Пусть $K$ — середина $AB$; тогда $AK=AN$.

Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA=OB$ — радиусы описанной окружности. Его медиана $OK$ является высотой, поэтому $\angle AKO=90^{\circ }$. Углы при основании равны:

$$\angle BAO=\frac{180^{\circ }-\angle AOB}{2}=90^{\circ }-\frac{1}{2}\angle AOB.$$

Угол $AOB$ — центральный, он опирается на ту же дугу $AB$, что и вписанный угол $ACB$ (треугольник остроугольный, поэтому $O$ и $C$ лежат по одну сторону от $AB$). Центральный угол вдвое больше вписанного, поэтому $\angle AOB=2\angle ACB$ и

$$\angle BAO=90^{\circ }-\angle ACB.$$

Пусть $AT$ — третья высота треугольника; она проходит через точку $H$. Из прямоугольного треугольника $ATC$

$$\angle CAT=90^{\circ }-\angle ACB=\angle BAO.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AKO$ и $ANH$ (с прямыми углами $K$ и $N$). У них $AK=AN$, а острые углы при вершине $A$ равны: $\angle KAO=\angle BAO$ и $\angle NAH=\angle CAT$, так как $N$ лежит на $AC$, а $H$ — на $AT$. Значит, треугольники равны по катету и прилежащему острому углу, и $AO=AH$, что и требовалось доказать.

б) По сумме углов треугольника

$$\angle ACB=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }.$$

По пункту а)

$$\angle BAO=\angle CAH=90^{\circ }-75^{\circ }=15^{\circ }.$$

Лучи $AO$ и $AH$ проходят внутри угла $BAC$ (точки $O$ и $H$ лежат внутри остроугольного треугольника), поэтому

$$\angle OAH=\angle BAC-\angle BAO-\angle CAH=60^{\circ }-15^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }.$$

Так как $AO=AH$, площадь треугольника $AHO$ равна

$$S_{AHO}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot AH\cdot \sin \angle OAH=\frac{1}{2}\cdot A{H}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{A{H}^2}{4}.$$

Найдём $AH$. Треугольники $AHN$ и $BCN$ прямоугольные с прямым углом $N$. В треугольнике $AHN$ острый угол $HAN=90^{\circ }-\angle ACB$, поэтому $\angle AHN=\angle ACB=\angle BCN$. Значит, треугольники $AHN$ и $BCN$ подобны по двум углам, причём $A$ соответствует $B$, а $H$ — вершина $C$:

$$\frac{AH}{BC}=\frac{HN}{CN}.$$

Треугольник $HNC$ прямоугольный, поэтому $\frac{HN}{CN}=\mathrm{tg}\angle HCN$. Точка $H$ лежит на высоте $CM$, значит, $\angle HCN=\angle MCA$, а из прямоугольного треугольника $AMC$

$$\angle MCA=90^{\circ }-\angle MAC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ },\frac{HN}{CN}=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$AH=BC\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=6,S_{AHO}=\frac{36}{4}=9.$$

Проверим другим способом: $AO$ — радиус описанной окружности, и по теореме синусов $AO=\frac{BC}{2\sin \angle BAC}=\frac{6\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=6=AH$.

Ответ: б) $9$.