ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сначала уточним расположение точек. Меньшая окружность лежит внутри большей, поэтому точка $A$ находится внутри большего круга, и прямая $CA$ второй раз пересекает большую окружность за точкой $A$: точка $A$ лежит между $C$ и $E$. Точка $D$ лежит на меньшей окружности, то есть внутри большего круга, поэтому она лежит на хорде $CB$, между $C$ и $B$.

а) Проведём через точку $C$ общую касательную к окружностям и отметим на ней точку $K$ так, чтобы $K$ и $B$ лежали по одну сторону от прямой $AC$.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключённую внутри этого угла. Для большей окружности и хорды $CB$:

$$\angle BCK=\angle BEC.$$

Для меньшей окружности и хорды $CD$:

$$\angle DCK=\angle DAC.$$

Точка $D$ лежит на луче $CB$, поэтому $\angle DCK=\angle BCK$. Значит,

$$\angle DAC=\angle DCK=\angle BCK=\angle BEC.$$

Точка $A$ лежит на отрезке $CE$, поэтому углы $DAC$ и $BEC$ — соответственные при прямых $AD$ и $BE$ и секущей $CE$ (точки $D$ и $B$ лежат по одну сторону от неё). Они равны, значит, $AD\parallel BE$, что и требовалось доказать.

б) Точка $D$ лежит на луче $CB$, поэтому $\angle ACD=\angle ACB=90^{\circ }$. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, значит, $AD$ — диаметр меньшей окружности: $AD=2\cdot 4=8$. Аналогично $\angle BCE=90^{\circ }$, и $BE$ — диаметр большей окружности: $BE=2\cdot 7,5=15$.

Прямоугольные треугольники $DCA$ и $BCE$ подобны по острому углу: по пункту а) $\angle DAC=\angle BEC$. Вершине $D$ соответствует $B$, вершине $A$ — вершина $E$, поэтому

$$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CE}=\frac{AD}{BE}=\frac{8}{15}.$$

Треугольник $ABC$ равнобедренный, пусть $AC=BC=x$. Тогда $CD=\frac{8}{15}x$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCA$

$$A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2\Rightarrow 64=x^2+\frac{64}{225}{x}^2=\frac{289}{225}{x}^2,$$

$$x^2=\frac{64\cdot 225}{289},x=\frac{8\cdot 15}{17}=\frac{120}{17}.$$

Значит, $AC=\frac{120}{17}$.

Ответ: б) $\frac{120}{17}$.