В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

В треугольнике $A B C$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $A B$ и $B C$ соответственно так, что $A M : M B = C N : N B = 2 : 3$ . Окружность, вписанная в треугольник $A B C$ , касается отрезка $M N$ в точке $L$ .

а) Докажите, что $A B + B C = 4 A C$ .

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $A B C$ , если $M L = \frac{9}{5}$ , $L N = 3$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Вписанная окружность касается MN в точке L

а) Пусть вписанная окружность касается сторон $A B$ , $A C$ и $B C$ в точках $P$ , $K$ и $Q$ соответственно (на первом рисунке точка касания со стороной $A C$ обозначена $Q$ , а со стороной $B C$ — $T$ ).

Из условия $A M : M B = C N : N B = 2 : 3$ следует, что

$\frac{B M}{B A} = \frac{B N}{B C} = \frac{3}{5} .$

Треугольники $M B N$ и $A B C$ подобны по двум сторонам и углу между ними: угол $B$ общий, а прилежащие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия равен $\frac{3}{5}$ , поэтому

$M N = \frac{3}{5} A C, M B = \frac{3}{5} A B, B N = \frac{3}{5} B C,$

а из равенства углов $∠ B M N = ∠ B A C$ (соответственные) следует $M N ∥ A C$ .

Окружность касается отрезка $M N$ , поэтому она вписана в трапецию $A M N C$ : точка $P$ лежит между $A$ и $M$ , точка $Q$ — между $N$ и $C$ . Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

$A P = A K, C Q = C K, M P = M L, N Q = N L .$

Рисунок к решению

Разобьём сумму $A B + B C$ на части и заменим каждую равным отрезком:

$A B + B C = A P + P M + M B + B N + N Q + QC = (A K + K C) + (M L + L N) + (M B + B N) .$

Здесь $A K + K C = A C$ , $M L + L N = M N = \frac{3}{5} A C$ и $M B + B N = \frac{3}{5} (A B + B C)$ . Получаем

$A B + B C = A C + \frac{3}{5} A C + \frac{3}{5} (A B + B C) \Rightarrow \frac{2}{5} (A B + B C) = \frac{8}{5} A C \Rightarrow A B + B C = 4 A C,$

что и требовалось доказать.

б) Отрезки касательных из точек $M$ и $N$ равны:

$M P = M L = \frac{9}{5}, N Q = N L = 3, M N = M L + L N = \frac{9}{5} + 3 = \frac{24}{5} .$

Обозначим $M B = 3 x$ , $A M = 2 x$ , $N B = 3 y$ , $C N = 2 y$ .

Рисунок к решению

Отрезки касательных из вершины $B$ равны: $B P = B Q$ . Выразим их через $x$ и $y$ :

$B P = B M + M P = 3 x + \frac{9}{5}, B Q = B N + N Q = 3 y + 3.$

Приравниваем:

$3 x + \frac{9}{5} = 3 y + 3 \Rightarrow 3 x - 3 y = \frac{6}{5} \Rightarrow x - y = \frac{2}{5} .$

По пункту а) $A C = \frac{A B + B C}{4} = \frac{5 x + 5 y}{4}$ , а $M N = \frac{3}{5} A C$ :

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 ( x + y )}{4} = \frac{24}{5} \Rightarrow \frac{3 ( x + y )}{4} = \frac{24}{5} \Rightarrow x + y = \frac{32}{5} .$

Решим систему:

$⎩ ⎨ ⎧ x - y = \frac{2}{5}, x + y = \frac{32}{5} .$

Сложив уравнения, получаем $2 x = \frac{34}{5}$ , $x = \frac{17}{5}$ , и тогда $y = \frac{17}{5} - \frac{2}{5} = 3$ . Находим стороны:

$A B = 5 x = 17, B C = 5 y = 15, A C = \frac{17 + 15}{4} = 8.$

Так как $8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 1 7^{2}$ , по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $A B C$ прямоугольный с прямым углом $C$ . Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

$r = \frac{A C + B C - A B}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = 3.$

Проверка: полупериметр $p = 20$ , и отрезок касательной из $B$ равен $p - A C = 12$ ; с другой стороны, $B P = 3 x + \frac{9}{5} = \frac{51}{5} + \frac{9}{5} = 12$ — совпадает.

Ответ: б) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18