ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Центр окружности, вписанной в квадрат, совпадает с центром квадрата, а перпендикуляры из него на стороны попадают в их середины. Поэтому точки касания $K$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AD$, и

$$BK=\frac{AB}{2}=\frac{AD}{2}=DE.$$

Прямоугольные треугольники $CBK$ и $CDE$ равны по двум катетам: $CB=CD$ как стороны квадрата и $BK=DE$. Значит, $CK=CE$.

Точка $C$ лежит вне окружности. Из неё проведены две секущие: $CK$ пересекает окружность в точках $M$ и $K$, а $CE$ — в точках $P$ и $E$. По теореме о двух секущих

$$CM\cdot CK=CP\cdot CE.$$

Так как $CK=CE$, отсюда $CM=CP$.

Рассмотрим треугольники $CMP$ и $CKE$. Угол $C$ у них общий, и

$$\frac{CM}{CK}=\frac{CP}{CE},$$

так как числители равны между собой и знаменатели равны между собой. Значит, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причём вершине $M$ соответствует $K$, а вершине $P$ — вершина $E$. Отсюда $\angle CMP=\angle CKE$.

Точка $M$ лежит на отрезке $CK$, поэтому углы $CMP$ и $CKE$ — соответственные при прямых $MP$ и $KE$ и секущей $CK$. Они равны, значит, $MP\parallel EK$, что и требовалось доказать.

б) Точки $K$ и $E$ — середины сторон, поэтому $AK=AE=BK=20$. По теореме Пифагора для треугольников $AKE$ и $CBK$

$$KE=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2},CK=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5},$$

и по пункту а) $CE=CK=20\sqrt{5}$.

Найдём косинус угла $EKC$ по теореме косинусов для треугольника $CEK$:

$$C{E}^2=C{K}^2+K{E}^2-2\cdot CK\cdot KE\cdot \cos \angle EKC.$$

Так как $CE=CK$, получаем

$$0=K{E}^2-2\cdot CK\cdot KE\cdot \cos \angle EKC\Rightarrow \cos \angle EKC=\frac{KE}{2CK}=\frac{20\sqrt{2}}{40\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

Угол $EKC$ острый (это угол при основании равнобедренного треугольника), поэтому по основному тригонометрическому тождеству

$$\sin \angle EKC=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны: $R=20$. Точки $E$, $K$, $M$ лежат на этой окружности, то есть она описана около треугольника $EKM$. Точка $M$ лежит на отрезке $KC$, поэтому $\angle EKM=\angle EKC$. По теореме синусов

$$ME=2R\sin \angle EKM=2\cdot 20\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{120}{\sqrt{10}}=12\sqrt{10}.$$

Ответ: б) $12\sqrt{10}$.