ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $\angle BAD=\alpha$, по условию $\alpha <90^{\circ }$.

Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ }$, а противоположные углы равны:

$$\angle ADC=180^{\circ }-\alpha ,\angle BCD=\alpha .$$

Точка $N$ лежит на продолжении $AD$ за точку $D$, поэтому углы $ADC$ и $CDN$ смежные:

$$\angle CDN=180^{\circ }-\angle ADC=\alpha .$$

По условию $CN=CD$, то есть треугольник $CDN$ равнобедренный с основанием $DN$. Углы при основании равны, $\angle CND=\angle CDN=\alpha$, и по сумме углов треугольника

$$\angle DCN=180^{\circ }-2\alpha .$$

Точки $B$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $CD$, поэтому

$$\angle BCN=\angle BCD+\angle DCN=\alpha +180^{\circ }-2\alpha =180^{\circ }-\alpha .$$

Точка $M$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, поэтому углы $ADC$ и $ADM$ смежные:

$$\angle ADM=180^{\circ }-\angle ADC=\alpha .$$

По условию $AM=AD$, треугольник $ADM$ равнобедренный с основанием $DM$, поэтому $\angle AMD=\angle ADM=\alpha$ и

$$\angle DAM=180^{\circ }-2\alpha .$$

Точки $B$ и $M$ лежат по разные стороны от прямой $AD$, поэтому

$$\angle BAM=\angle BAD+\angle DAM=\alpha +180^{\circ }-2\alpha =180^{\circ }-\alpha .$$

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому

$$AB=CD=CN,BC=AD=AM.$$

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CNB$: $AB=CN$, $AM=CB$, и углы между этими сторонами равны: $\angle BAM=\angle NCB=180^{\circ }-\alpha$. По первому признаку равенства треугольники равны, причём вершине $A$ соответствует $C$, вершине $B$ — вершина $N$, вершине $M$ — вершина $B$. Значит, равны их третьи стороны:

$$BM=BN,$$

что и требовалось доказать.

б) Угол $ABC$ параллелограмма равен $180^{\circ }-\alpha$. Рассмотрим треугольники $BAM$ и $ABC$: сторона $AB$ общая, $AM=BC$, и $\angle BAM=\angle ABC=180^{\circ }-\alpha$. По первому признаку они равны, причём вершине $M$ соответствует вершина $C$. Значит, $BM=AC=4$, и по пункту а)

$$BM=BN=4.$$

Найдём угол $MBN$. Из равенства треугольников $ABM$ и $CNB$ следует, что $\angle AMB=\angle CBN$. В треугольнике $ABM$ по сумме углов

$$\angle ABM+\angle AMB=180^{\circ }-\angle BAM=\alpha ,\text{поэтому}\angle ABM+\angle CBN=\alpha .$$

Точки $M$ и $N$ лежат внутри угла $ABC$: прямая $CD$, на которой лежит $M$, параллельна $AB$, а прямая $AD$, на которой лежит $N$, параллельна $BC$. Кроме того, $\angle ABM+\angle CBN=\alpha <180^{\circ }-\alpha =\angle ABC$, поэтому лучи идут в порядке $BA$, $BM$, $BN$, $BC$, и

$$\angle ABC=\angle ABM+\angle MBN+\angle NBC\Rightarrow 180^{\circ }-\alpha =\alpha +\angle MBN\Rightarrow \angle MBN=180^{\circ }-2\alpha .$$

По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла

$$\cos \angle MBN=\cos (180^{\circ }-2\alpha )=-\cos 2\alpha =-(1-2{\sin }^2\alpha )=2{\sin }^2\alpha -1=2\cdot \frac{64}{289}-1=-\frac{161}{289}.$$

По теореме косинусов для треугольника $MBN$

$$M{N}^2=B{M}^2+B{N}^2-2\cdot BM\cdot BN\cdot \cos \angle MBN=16+16+2\cdot 16\cdot \frac{161}{289}=32\cdot \frac{289+161}{289}=\frac{32\cdot 450}{289}=\frac{14400}{289}.$$

Следовательно,

$$MN=\frac{120}{17}.$$

Ответ: б) $\frac{120}{17}$.