ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Окружность касается отрезков $HB$ (часть стороны $AB$), $BC$ и $CH$, то есть вписана в треугольник $HBC$. Её центр $O$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника.

а) Пусть $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$ — углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$. Треугольник остроугольный, поэтому основание высоты $H$ лежит на стороне $AB$, а угол $B=180^{\circ }-2\alpha$ меньше $90^{\circ }$, то есть $\alpha >45^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle ACH=90^{\circ }-\angle CAH=90^{\circ }-\alpha .$$

Луч $CH$ проходит внутри угла $ACB$, поэтому

$$\angle BCH=\angle ACB-\angle ACH=\alpha -(90^{\circ }-\alpha )=2\alpha -90^{\circ }.$$

$CO$ — биссектриса угла $HCB$, а $HO$ — биссектриса прямого угла $BHC$:

$$\angle OCH=\frac{2\alpha -90^{\circ }}{2}=\alpha -45^{\circ },\angle OHC=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }.$$

По теореме о сумме углов треугольника $COH$

$$\angle COH=180^{\circ }-\angle OHC-\angle OCH=180^{\circ }-45^{\circ }-(\alpha -45^{\circ })=180^{\circ }-\alpha .$$

Рассмотрим четырёхугольник $ACOH$. Точки $A$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $CH$: точка $A$ — в треугольнике $AHC$, точка $O$ — внутри треугольника $HBC$. Поэтому $ACOH$ — выпуклый четырёхугольник, и сумма его противоположных углов $A$ и $O$ равна

$$\angle HAC+\angle HOC=\alpha +(180^{\circ }-\alpha )=180^{\circ }.$$

Значит, около четырёхугольника $ACOH$ можно описать окружность. Вписанные углы $AOC$ и $AHC$ опираются на одну дугу $AC$ (точки $O$ и $H$ лежат по одну сторону от $AC$), поэтому

$$\angle AOC=\angle AHC=90^{\circ },$$

что и требовалось доказать.

б) Окружность вписана в угол $ABC$, поэтому её центр $O$ лежит на биссектрисе этого угла. Продлим $BO$ до пересечения с $AC$ в точке $M$. В равнобедренном треугольнике биссектриса $BM$, проведённая к основанию, является также медианой и высотой: $M$ — середина $AC$ и $BM\perp AC$.

По пункту а) треугольник $AOC$ прямоугольный с гипотенузой $AC$, а $OM$ — его медиана. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$$OM=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Точка $O$ лежит внутри треугольника, то есть между $B$ и $M$, поэтому высота

$$BM=BO+OM=7+5=12.$$

Площадь треугольника $ABC$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60.$$

Проверим, что такой треугольник остроугольный: $AB=BC=\sqrt{5^2+12^2}=13$, и $A{C}^2=100<13^2+13^2$, так что угол $B$ острый, а углы при основании острые всегда.

Ответ: б) $60$.