Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2019 развёрнутое

Окружность касается стороны $A C$ остроугольного треугольника $A B C$ и делит каждую из сторон $A B$ и $B C$ на три равные части.

а) Докажите, что $A B = B C .$

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника, проведённая из вершины $A,$ делит сторону $B C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Окружность пересекает сторону $A B$ в двух точках, делящих её на три равные части; обозначим их $K$ и $L$ так, что $A K = K L = L B$ . Сторону $B C$ она пересекает в точках $M$ и $N$ , где $B M = M N = N C$ . Пусть $A B = 3 c$ и $B C = 3 b$ .

Точка $B$ лежит вне окружности, и из неё проведены две секущие: $B A$ (пересекает окружность в $L$ и $K$ ) и $B C$ (пересекает окружность в $M$ и $N$ ). По теореме о двух секущих произведение всей секущей на её внешнюю часть одинаково для обеих секущих:

$B L \cdot B K = B M \cdot B N .$

Здесь $B L = c$ , $B K = 2 c$ , $B M = b$ , $B N = 2 b$ , поэтому

$c \cdot 2 c = b \cdot 2 b \Rightarrow c^{2} = b^{2} \Rightarrow c = b .$

Значит, $A B = 3 c = 3 b = B C$ , что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $A B = B C$ ; обозначим $A B = B C = 3 a$ . Тогда

$A K = K L = L B = B M = M N = N C = a .$

Пусть $B_{1}$ — точка касания окружности со стороной $A C$ . Из точки $A$ проведены касательная $A B_{1}$ и секущая через $K$ и $L$ . По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:

$A B_{1}^{2} = A K \cdot A L = a \cdot 2 a = 2 a^{2}, A B_{1} = a 2 .$

Точно так же из точки $C$ :

$C B_{1}^{2} = C N \cdot C M = a \cdot 2 a = 2 a^{2}, C B_{1} = a 2 .$

Значит, $A C = A B_{1} + B_{1} C = 2 a 2$ , а $B_{1}$ — середина $A C$ .

Найдём площадь треугольника $A B C$ . В равнобедренном треугольнике медиана $B B_{1}$ , проведённая к основанию, является высотой. По теореме Пифагора из треугольника $A B B_{1}$

$B B_{1} = A B^{2} - A B_{1}^{2} = 9 a^{2} - 2 a^{2} = a 7,$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 a 2 \cdot a 7 = a^{2} 14 .$

Пусть $A H$ — высота, проведённая из вершины $A$ . Треугольник остроугольный, поэтому $H$ лежит на стороне $B C$ . Запишем площадь второй раз, через сторону $B C$ и высоту $A H$ :

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H \Rightarrow A H = \frac{2 S _{A B C}}{B C} = \frac{2 a ^{2} 14}{3 a} = \frac{2 a 14}{3} .$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $A B H$

$B H = A B^{2} - A H^{2} = 9 a^{2} - \frac{56 a ^{2}}{9} = \frac{25 a ^{2}}{9} = \frac{5 a}{3} .$

Тогда

$C H = B C - B H = 3 a - \frac{5 a}{3} = \frac{4 a}{3}, \frac{B H}{H C} = \frac{5 a /3}{4 a /3} = \frac{5}{4} .$

Проверим другим способом: из прямоугольного треугольника $B B_{1} C$ получаем $cos C = \frac{C B _{1}}{B C} = \frac{a 2}{3 a} = \frac{2}{3}$ , и из треугольника $A H C$ находим $C H = A C cos C = 2 a 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 a}{3}$ — то же самое.

Ответ: б) $5 : 4$ , считая от вершины $B$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18