Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С ₁ и В ₁ соответственно. а) Докажите, что… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С $_{1}$ и В $_{1}$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ $_{1}$ С $_{1}$

б) Вычислите длину стороны В $_{1}$ С $_{1}$ и радиус данной окружности, если $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $B C = 107$ и площадь треугольника АВ $_{1}$ С $_{1}$ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ $_{1}$ С $_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через B, C, B₁, C₁

а) Точки $B$ , $C$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ лежат на одной окружности, причём $C_{1}$ лежит на стороне $A B$ , а $B_{1}$ — на стороне $A C$ . Значит, четырёхугольник $B C B_{1} C_{1}$ вписанный, и сумма его противоположных углов $B$ и $B_{1}$ равна $18 0^{\circ}$ :

$∠ C_{1} B C + ∠ C B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} .$

Углы $A B_{1} C_{1}$ и $C B_{1} C_{1}$ смежные, так как $B_{1}$ лежит на отрезке $A C$ . Поэтому

$∠ A B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ C B_{1} C_{1} = ∠ C_{1} B C = ∠ A B C .$

У треугольников $A B C$ и $A B_{1} C_{1}$ угол $A$ общий и $∠ A B C = ∠ A B_{1} C_{1}$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $B$ соответствует $B_{1}$ , а вершине $C$ — вершина $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $A B C$ складывается из площадей треугольника $A B_{1} C_{1}$ и четырёхугольника $B C B_{1} C_{1}$ . Обозначим $S_{A B_{1} C_{1}} = S$ , тогда $S_{B C B_{1} C_{1}} = 3 S$ и

$S_{A B C} = S + 3 S = 4 S .$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $k^{2} = 4$ , $k = 2$ . Значит,

$\frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{A B}{A B _{1}} = \frac{A C}{A C _{1}} = 2, B_{1} C_{1} = \frac{B C}{2} = \frac{10 7}{2} = 57 .$

Данная окружность проходит через точки $B$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ , то есть является описанной окружностью треугольника $B B_{1} C_{1}$ . По теореме синусов

$B_{1} C_{1} = 2 R sin ∠ B_{1} B C_{1} .$

Точка $C_{1}$ лежит на отрезке $A B$ , поэтому $∠ B_{1} B C_{1} = ∠ A B B_{1}$ . Найдём синус этого угла из треугольника $A B B_{1}$ . Пусть $A B_{1} = x$ , тогда $A B = 2 x$ , а $∠ B A B_{1} = 12 0^{\circ}$ . По теореме косинусов

$B B_{1}^{2} = A B^{2} + A B_{1}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A B_{1} cos 12 0^{\circ} = 4 x^{2} + x^{2} + 2 x^{2} = 7 x^{2}, B B_{1} = x 7 .$

По теореме синусов для треугольника $A B B_{1}$

$\frac{sin ∠ A B B _{1}}{A B _{1}} = \frac{sin ∠ B A B _{1}}{B B _{1}} \Rightarrow sin ∠ A B B_{1} = \frac{x \cdot \frac{3}{2}}{x 7} = \frac{3}{2 7} .$

Неизвестная длина $x$ сократилась: угол $A B B_{1}$ определяется однозначно. Теперь находим радиус:

$R = \frac{B _{1} C _{1}}{2 sin ∠ B _{1} B C _{1}} = \frac{5 7}{\frac{3}{7}} = \frac{35}{3} = \frac{35 3}{3} .$

Ответ: б) $B_{1} C_{1} = 57$ , $R = \frac{35 3}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18