Окружность с центром касается оснований и и боковой стороны трапеции . Окружность с центром касается сторон , и . Известно, что , , , .
а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции .
б) Найдите .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Пусть — высота трапеции, то есть расстояние между параллельными прямыми и . Окружность с центром касается обеих этих прямых. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому обе точки касания и центр лежат на одном перпендикуляре к основаниям. Значит, диаметр окружности равен , а центр лежит между основаниями на расстоянии от каждого из них.
Пусть и — середины боковых сторон и . Средняя линия параллельна основаниям и делит пополам любой отрезок с концами на основаниях, в частности высоту. Поэтому прямая состоит из точек, лежащих между основаниями на расстоянии от каждого, и центр лежит на прямой . По тем же причинам на прямой лежит и центр .
Центры не совпадают. Иначе это была бы одна окружность радиуса , касающаяся всех четырёх сторон, то есть вписанная в трапецию. Но тогда суммы противоположных сторон были бы равны, а здесь .
Итак, прямая совпадает с прямой и поэтому параллельна основаниям трапеции, что и требовалось доказать.
б) Длина средней линии равна полусумме оснований:
Окружность с центром вписана в угол (касается его сторон и ), поэтому её центр лежит на биссектрисе этого угла: . Прямые и параллельны, — секущая, поэтому как накрест лежащие. Значит, , треугольник равнобедренный, и
Аналогично окружность с центром вписана в угол , и — биссектриса этого угла: . Треугольник равнобедренный, и
Точка лежит на отрезке на расстоянии от , точка — на расстоянии от . Так как , отрезки и не перекрываются, и
Ответ: б) .